在数学领域，梯度公式是多元函数微分学中的一个重要概念。以下是梯度公式推导的详细过程：
1. 定义多元函数：设\( f(x_1, x_2, ..., x_n) \)是一个\( n \)元可微函数。
2. 偏导数：根据多元函数的微分学，函数\( f \)在点\( (x_1, x_2, ..., x_n) \)处的偏导数分别表示为：
\[
f_1'(x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{\partial f}{\partial x_1}, \quad f_2'(x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{\partial f}{\partial x_2}, \quad \ldots, \quad f_n'(x_1, x_2, ..., x_n) = \frac{\partial f}{\partial x_n}
\]
3. 梯度向量：梯度向量\( \nabla f \)定义为偏导数的向量，即：
\[
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, ..., \frac{\partial f}{\partial x_n} \right)
\]
4. 梯度公式的推导：
- 考虑函数\( f \)在某一点\( (x_1, x_2, ..., x_n) \)沿任意方向\( \mathbf{v} = (v_1, v_2, ..., v_n) \)的变化率，即：
\[
\frac{\Delta f}{\Delta t} = \frac{f(x_1 + v_1\Delta t, x_2 + v_2\Delta t, ..., x_n + v_n\Delta t) - f(x_1, x_2, ..., x_n)}{\Delta t}
\]
- 利用线性近似，有：
\[
f(x_1 + v_1\Delta t, x_2 + v_2\Delta t, ..., x_n + v_n\Delta t) \approx f(x_1, x_2, ..., x_n) + \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} v_i \Delta t
\]
- 将上述近似代入变化率公式中，得到：
\[
\frac{\Delta f}{\Delta t} \approx \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} v_i
\]
- 当\( \Delta t \)趋向于0时，上式变为：
\[
\frac{df}{dt} = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} v_i
\]
- 由于\( \mathbf{v} \)是任意方向，因此上式中的\( \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} v_i \)可以表示为梯度向量\( \nabla f \)与方向向量\( \mathbf{v} \)的点积：
\[
\frac{df}{dt} = \nabla f \cdot \mathbf{v}
\]
至此，梯度公式推导完成。
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