垂心定理的证明过程如下：
1. 定义垂心：首先，我们需要明确垂心的定义。在三角形中，垂心是三条高的交点。三角形的三条高分别是从顶点到对边的垂线。
2. 构造辅助线：以三角形ABC为例，我们构造三条高，分别交BC、AC、AB于点D、E、F。
3. 应用相似三角形：
- 由于AD垂直于BC，BE垂直于AC，CF垂直于AB，我们可以得出AD、BE、CF分别是三角形ABC的高。
- 因此，点D、E、F分别是BC、AC、AB上的垂足。
4. 证明相似：
- 在直角三角形ABD和直角三角形ACE中，由于AD垂直于BC，BE垂直于AC，所以这两个三角形是相似的（AA相似准则）。
- 同理，直角三角形BCE和直角三角形ADF也是相似的。
5. 比例关系：
- 由于三角形ABD和三角形ACE相似，我们有：
\[ \frac{BD}{AD} = \frac{AC}{AE} \]
- 同理，由于三角形BCE和三角形ADF相似，我们有：
\[ \frac{CE}{BE} = \frac{AD}{AF} \]
6. 交叉相乘：
- 将上述两个比例关系交叉相乘，得到：
\[ BD \cdot AE = AC \cdot AD \]
- 同理，我们可以得到：
\[ CE \cdot AF = AD \cdot AC \]
7. 证明垂心定理：
- 将上述两个等式相加，得到：
\[ BD \cdot AE + CE \cdot AF = AC \cdot AD + AD \cdot AC \]
- 化简得：
\[ BD \cdot AE + CE \cdot AF = AD \cdot (AC + AD) \]
- 由于AC + AD = BC，所以：
\[ BD \cdot AE + CE \cdot AF = AD \cdot BC \]
- 这表明点D、E、F在一条直线上，即它们是三角形ABC的垂心。
通过以上步骤，我们证明了垂心定理。
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