要解出已知生产函数的扩展线方程，首先需要理解生产函数的概念。生产函数是经济学中用来描述投入与产出之间关系的一个数学模型。扩展线，又称为规模线，是指在技术水平不变的条件下，由于生产规模的变化，导致总产出的变化轨迹。
以下是一般的求解步骤：
1. 设定生产函数：假设生产函数为 Q = f(K, L)，其中 Q 是总产出，K 是资本投入，L 是劳动投入。
2. 求边际技术替代率（MRTS）：MRTS 表示在保持产出不变的情况下，资本与劳动之间可以相互替代的比率。MRTS 可以通过以下公式计算：
\[ MRTS = \frac{dQ/dK}{dQ/dL} = \frac{L}{K} \]
3. 求扩展线方程：在扩展线上，由于技术不变，资本和劳动的比例保持不变，即 K/L 的比值不变。因此，扩展线方程可以通过以下步骤求得：
- 令 K/L = r，其中 r 为常数。
- 解出 L 和 K 的表达式，即 L = rK。
- 将 L = rK 代入生产函数 Q = f(K, L)，得到 Q 关于 K 的函数。
举例说明：
假设生产函数为 Q = K^0.5 * L^0.5。
1. 求MRTS：
\[ MRTS = \frac{dQ/dK}{dQ/dL} = \frac{0.5L^{-0.5}}{0.5K^{-0.5}} = \frac{L}{K} \]
2. 求扩展线方程：
由于 MRTS = L/K，我们得到 L = K。
将 L = K 代入生产函数，得到：
\[ Q = K^0.5 * K^0.5 = K \]
所以，在这个例子中，扩展线方程为 Q = K。
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