静压能的计算公式推导基于流体力学的基本原理。首先，我们从流体力学中的能量方程入手，具体推导过程如下：
1. 能量方程：在流体力学中，对于不可压缩流体，能量方程可以表示为：
\[ \frac{\partial (\rho v_i h)}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho v_i h \mathbf{v}) = \nabla \cdot (p \mathbf{v}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial t} \]
其中，\( \rho \) 是流体密度，\( v_i \) 是速度分量，\( h \) 是总能量，\( p \) 是压强，\( \mathbf{v} \) 是速度矢量。
2. 忽略速度势：在静止流体的情况下，即 \( \mathbf{v} = 0 \)，上式简化为：
\[ \frac{\partial (\rho h)}{\partial t} = \nabla \cdot (p \mathbf{v}) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial t} \]
3. 引入势函数：为了简化计算，我们引入势函数 \( \phi \)，使得 \( \mathbf{v} = \nabla \phi \)，则有：
\[ \frac{\partial (\rho h)}{\partial t} = \nabla \cdot (p \nabla \phi) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial t} \]
4. 静压能：静压能是指单位体积流体的静压所具有的能量，其表达式为：
\[ e_p = p \]
我们将静压能代入能量方程中，得到：
\[ \frac{\partial (\rho h)}{\partial t} = \nabla \cdot (p \nabla \phi) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial t} \]
5. 梯度运算：利用梯度运算的性质，上式可以进一步简化为：
\[ \frac{\partial (\rho h)}{\partial t} = \nabla (p \phi) \]
6. 势函数与速度势关系：由于 \( \mathbf{v} = \nabla \phi \)，因此 \( \phi \) 与 \( \mathbf{v} \) 之间的关系为：
\[ \phi = \frac{1}{2} v^2 \]
7. 最终公式：将势函数与速度势的关系代入静压能公式中，得到最终的表达式：
\[ e_p = p = \frac{1}{2} \rho v^2 \]
这就是静压能的计算公式推导。现在，如果您正在准备考研，不妨试试【考研刷题通】小程序，它包含了政治、英语、数学等全部考研科目的刷题功能，助您高效备考！【考研刷题通】