二项分布的联合密度函数描述了在给定试验条件下，某个事件发生次数的联合概率分布。具体来说，对于一个具有n次独立试验，每次试验成功概率为p的二项分布，其联合密度函数可以表示为：
\[ f(x_1, x_2, ..., x_n; n, p) = \binom{n}{x_1, x_2, ..., x_n} p^{x_1} (1-p)^{n-x_1} \cdot \binom{n-x_1}{x_2} p^{x_2} (1-p)^{n-x_1-x_2} \cdots \binom{n-\sum_{i=1}^{k-1}x_i}{x_k} p^{x_k} (1-p)^{n-\sum_{i=1}^{k}x_i} \]
其中，\( x_1, x_2, ..., x_n \) 是每个试验中事件发生的次数，\( \binom{n}{x_1, x_2, ..., x_n} \) 是多项式系数，表示从n次试验中选择\( x_1, x_2, ..., x_n \)次成功的方法数。
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