求解反常积分 \(\int_{1}^{\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \, dx\) 的具体步骤如下：
1. 变量代换：为了简化积分式，我们可以进行变量代换。设 \( u = \arctan x \)，则 \( du = \frac{1}{1+x^2} \, dx \)。由于 \( x \) 的取值范围是 \( [1, \infty) \)，则 \( u \) 的取值范围是 \( [\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}] \)。
2. 积分变换：将原积分变换为 \( u \) 的函数：
\[
\int_{1}^{\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \, dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} u \, du
\]
3. 计算积分：计算变换后的积分：
\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} u \, du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 - \left( \frac{\pi}{4} \right)^2 \right)
\]
4. 化简结果：进一步化简得到：
\[
\frac{1}{2} \left( \frac{\pi^2}{4} - \frac{\pi^2}{16} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi^2}{16} = \frac{3\pi^2}{32}
\]
因此，反常积分 \(\int_{1}^{\infty} \frac{\arctan x}{x^2} \, dx\) 的值为 \(\frac{3\pi^2}{32}\)。
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