函数不动点定理，即Banach不动点定理，是数学分析中的一个重要定理。以下是该定理的证明过程：
设X是一个完备的度量空间，f是X上的一个压缩映射，即存在一个常数q（0 < q < 1），使得对于X中任意两点x和y，都有：
d(f(x), f(y)) ≤ q * d(x, y)
其中，d表示X上的度量。
证明：
（1）首先证明f在X上有不动点。假设f在X上没有不动点，即对于X中的任意点x，都有f(x) ≠ x。
（2）构造数列{xn}，其中x1任意取X中的一个点，对于n ≥ 2，有xn = f(xn-1)。根据f的性质，可以得到：
d(xn, xn-1) = d(f(xn-1), f(xn-2)) ≤ q * d(xn-1, xn-2)
由归纳法可得：
d(xn, xn-1) ≤ q^(n-1) * d(x1, x0)
（3）由于X是完备的度量空间，因此数列{xn}有收敛的子数列。设{xn_k}是{xn}的一个收敛子数列，且其极限为x。根据数列的性质，有：
d(x, f(x)) = lim_{k→∞} d(xn_k, f(xn_k))
由于f是压缩映射，可以得到：
d(x, f(x)) ≤ q * d(x, f(xn_k))
结合上述两式，可以得到：
d(x, f(x)) ≤ q * lim_{k→∞} d(xn_k, xn_k) = 0
因此，d(x, f(x)) = 0，即f(x) = x。这证明了f在X上至少有一个不动点。
（4）由于f是压缩映射，根据压缩映射原理，f在X上的不动点是唯一的。
综上所述，函数不动点定理得证。
【考研刷题通】——考研刷题小程序，政治、英语、数学等全部考研科目刷题，助你高效备考！快来关注我们，开启你的考研刷题之旅！