证明极限定义的步骤如下：
1. 定义变量：设定一个变量x，代表函数的自变量，并假设x趋近于某个值a。
2. 构造函数：定义一个函数f(x)，该函数在x=a处未定义或定义有特殊值。
3. 设定极限值：设定一个实数L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限值。
4. 选择一个正数ε：任意选择一个正数ε，ε表示极限误差范围。
5. 寻找δ：根据ε，寻找一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
6. 证明不等式：证明对于所有满足0<|x-a|<δ的x值，都有|f(x)-L|<ε成立。
7. 结论：根据上述证明，可以得出结论：当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。
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