x分布、t分布和F分布是统计学中常用的概率分布，它们的公式推导基于概率论和统计学的基本原理。
1. x²分布（卡方分布）：
- x²分布是由多个独立的正态分布变量的平方和所构成的分布。
- 设 \(X_1, X_2, ..., X_n\) 是相互独立且同分布的正态随机变量，其均值分别为 \(\mu\)，方差为 \(\sigma^2\)，则有 \(X_i \sim N(\mu, \sigma^2)\)。
- \(X_i^2\) 服从自由度为1的正态分布，即 \(X_i^2 \sim \chi^2(1)\)。
- 因此，\(X^2 = X_1^2 + X_2^2 + ... + X_n^2\) 服从自由度为n的卡方分布，即 \(X^2 \sim \chi^2(n)\)。
2. t分布：
- t分布是当样本量较小时，用于估计正态分布总体均值的一种分布。
- 设 \(X_1, X_2, ..., X_n\) 是来自正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的样本，样本均值为 \(\bar{X}\)，样本方差为 \(S^2\)。
- \(t\) 统计量定义为 \(t = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\)。
- 通过数学推导，可以发现当 \(n\) 较大时，\(t\) 分布趋近于标准正态分布，而当 \(n\) 较小时，\(t\) 分布的形状由自由度 \(n-1\) 决定。
3. F分布：
- F分布是两个独立卡方分布随机变量之比所构成的分布。
- 设 \(X_1 \sim \chi^2(n_1)\) 和 \(X_2 \sim \chi^2(n_2)\) 是两个独立的卡方分布变量，且 \(X_1\) 和 \(X_2\) 分别自由度为 \(n_1\) 和 \(n_2\)。
- 定义 \(F = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2}\)，则 \(F\) 服从自由度为 \(n_1\) 和 \(n_2\) 的F分布。
通过这些推导过程，我们可以更好地理解这些统计分布的应用场景和数学原理。
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