在求解一元隐函数的二阶偏导数时，运用链式法则的关键在于正确识别中间变量及其相关偏导数。以下是一个具体的解题步骤：
1. 设一元隐函数为 \( F(x, y) = 0 \)，首先求出函数 \( F \) 对 \( x \) 的一阶偏导数 \( F_x' \) 和对 \( y \) 的一阶偏导数 \( F_y' \)。
2. 对 \( F_x' \) 再求关于 \( x \) 的偏导数，得到 \( F_{xx}'' \)。这一步中，将 \( y \) 视为常数。
3. 对 \( F_y' \) 再求关于 \( x \) 的偏导数，得到 \( F_{xy}'' \)。同样地，将 \( y \) 视为常数。
4. 应用链式法则，将 \( y \) 视为 \( x \) 的函数 \( y = y(x) \)，则有 \( F_{xy}'' = \frac{\partial}{\partial x} F_y' = F_{yx}'' + F_{yy}'' \cdot \frac{dy}{dx} \)。
5. 注意到 \( F_{yx}'' = F_{xy}'' \)（由于偏导数的对称性），因此 \( F_{xy}'' = 2F_{xy}'' + F_{yy}'' \cdot \frac{dy}{dx} \)。
6. 解出 \( F_{yy}'' \)，得到 \( F_{yy}'' = -F_{xy}'' \cdot \frac{dy}{dx} \)。
7. 将 \( F_{xy}'' \) 和 \( F_{yy}'' \) 代入 \( F_{xx}'' \) 的表达式中，得到二阶偏导数 \( F_{xx}'' \)。
这样，你就能求出一元隐函数的二阶偏导数了。记住，熟练掌握链式法则和偏导数的对称性是解决这类问题的关键。
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