复合函数求偏导数时，通常使用链式法则。以下是详解：
假设有一个复合函数 \( z = f(u, v) \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 是由其他变量 \( x \) 和 \( y \) 通过函数 \( g(x, y) \) 和 \( h(x, y) \) 得到的，即 \( u = g(x, y) \) 和 \( v = h(x, y) \)。要求 \( z \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数，可以按照以下步骤进行：
1. 求 \( z \) 对 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数：
\[
\frac{\partial z}{\partial u} = f_u, \quad \frac{\partial z}{\partial v} = f_v
\]
其中 \( f_u \) 和 \( f_v \) 分别是 \( f \) 对 \( u \) 和 \( v \) 的偏导数。
2. 求 \( u \) 和 \( v \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数：
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = g_x, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = g_y
\]
\[
\frac{\partial v}{\partial x} = h_x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = h_y
\]
其中 \( g_x, g_y, h_x, h_y \) 分别是 \( g \) 和 \( h \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
3. 应用链式法则：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x}
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y}
\]
这样，我们就得到了复合函数 \( z = f(u, v) \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。
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