欧拉公式的推导源于复数的指数函数性质。首先，我们考虑复数单位\(i\)的定义，其中\(i^2 = -1\)。接下来，通过以下步骤推导：
1. 泰勒级数展开：复数指数函数\(e^{ix}\)可以通过泰勒级数展开得到：
\[
e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
\]
2. 实部和虚部分离：将上述级数中的实部和虚部分离出来，可以得到：
\[
e^{ix} = (\cos x + i\sin x)
\]
其中，\(\cos x\)和\(\sin x\)是三角函数。
3. 欧拉公式：通过对比实部和虚部，我们得到著名的欧拉公式：
\[
e^{ix} = \cos x + i\sin x
\]
这个公式在数学和物理学中有着广泛的应用，是复数和三角函数之间的重要桥梁。
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