一元二次方程的极值推导主要基于二次函数的性质。以下为详细推导过程：
1. 设一元二次方程为 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a \neq 0$。
2. 对该方程求导得到 $y' = 2ax + b$。
3. 令 $y' = 0$，解得 $x = -\frac{b}{2a}$。
4. 将 $x = -\frac{b}{2a}$ 代入原方程，得到 $y = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c = \frac{4ac - b^2}{4a}$。
5. 当 $a > 0$ 时，$y$ 取得极小值 $\frac{4ac - b^2}{4a}$；当 $a < 0$ 时，$y$ 取得极大值 $\frac{4ac - b^2}{4a}$。
6. 因此，一元二次方程的极值推导完成。
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