连续型随机变量的数学期望（Expected Value）是指随机变量取值的加权平均，其中权重是各个取值对应的概率。下面是计算连续型随机变量数学期望的详细过程：
1. 定义随机变量：设随机变量 \( X \) 是一个连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) \)。
2. 概率密度函数的性质：确保 \( f(x) \) 是非负的，并且在整个定义域上积分等于1。
3. 数学期望的定义：数学期望 \( E(X) \) 定义为随机变量所有可能取值的加权平均，其中权重是该取值对应的概率密度函数值。对于连续型随机变量，数学期望的计算公式为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \, dx
\]
4. 计算过程：
- 确定积分的上下限，即随机变量 \( X \) 的取值范围。
- 将 \( x f(x) \) 的乘积作为被积函数。
- 对被积函数进行积分。
5. 实例计算：假设随机变量 \( X \) 服从均值为 \( \mu \)，方差为 \( \sigma^2 \) 的正态分布，即 \( X \sim N(\mu, \sigma^2) \)，其概率密度函数为：
\[
f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
则 \( X \) 的数学期望 \( E(X) \) 为：
\[
E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} \, dx
\]
通过数学变换或查表，可以得知正态分布的数学期望就是其均值 \( \mu \)。
6. 结论：经过积分运算，可以得到连续型随机变量 \( X \) 的数学期望 \( E(X) \)。
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