多元函数的反函数求解通常涉及以下步骤：
1. 确定函数的连续性和可微性：首先确认函数在定义域内连续且处处可微，这是反函数存在的必要条件。
2. 计算偏导数：计算函数的每个变量的偏导数。对于n元函数f(x1, x2, ..., xn)，需要计算所有n个变量的偏导数。
3. 构建雅可比矩阵：将所有偏导数组织成一个n×n的矩阵，称为雅可比矩阵。
4. 求解雅可比矩阵的逆：如果雅可比矩阵是可逆的，那么可以求出它的逆矩阵。
5. 反函数的表达：使用雅可比矩阵的逆来表示反函数，即反函数的每个分量可以表示为原函数对应分量的线性组合。
例如，对于函数f(x, y) = (x^2 + y^2, x^3 - y)，首先计算雅可比矩阵：
\[ J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
2x & 2y \\
3x^2 & -y
\end{bmatrix} \]
如果雅可比矩阵的行列式不为零，那么可以求出其逆矩阵，并利用逆矩阵得到反函数的表达式。
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