定义法证明函数的极限，通常涉及以下几个步骤：
1. 定义理解：首先，深刻理解极限的定义，即当自变量趋近于某个值时，函数的值如何变化。
2. 设定目标：明确要证明的极限值，设为\( L \)。
3. 选取δ：根据极限的定义，对于给定的正数ε，需要找到一个正数δ，使得当自变量\( x \)与极限点\( x_0 \)的距离小于δ时，函数\( f(x) \)的值与L的距离小于ε。
4. 分析函数性质：分析函数\( f(x) \)在\( x_0 \)附近的性质，确定如何选取δ。
5. 建立不等式：根据函数性质，建立关于\( x \)与\( x_0 \)的距离与\( f(x) \)与\( L \)的距离的不等式。
6. 推导δ：通过不等式推导出δ的表达式，并确保它满足δ小于ε的条件。
7. 验证δ：确保对于任意给定的ε，都能找到合适的δ，使得当\( 0 < |x - x_0| < δ \)时，\( |f(x) - L| < ε \)。
8. 结论：如果上述步骤能够顺利完成，就可以断言函数\( f(x) \)在\( x \)趋近于\( x_0 \)时的极限为\( L \)。
举例来说，如果我们要证明函数\( f(x) = x^2 \)在\( x \)趋近于\( 2 \)时的极限为\( 4 \)，可以如下操作：
- 设定目标：\( L = 4 \)。
- 对于任意给定的ε，选取δ，使得当\( 0 < |x - 2| < δ \)时，\( |x^2 - 4| < ε \)。
- 分析函数：\( |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| \)，所以当\( x \)接近2时，\( |x + 2| \)接近4。
- 建立不等式：\( |x - 2| < δ \)且\( |x + 2| < 6 \)。
- 推导δ：取\( δ = \min\{1, \frac{ε}{6}\} \)，这样当\( 0 < |x - 2| < δ \)时，\( |x^2 - 4| = |(x - 2)(x + 2)| < 6δ < ε \)。
- 验证δ：已经证明了对于任意ε，都存在这样的δ。
- 结论：因此，\( \lim_{{x \to 2}} x^2 = 4 \)。
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