要求解函数 \( e^{x^2} \) 在区间 \([a, b]\) 上的定积分，首先，我们需要注意到这个函数并不好直接积分。但我们可以使用分部积分法来解决这个问题。
设 \( I = \int_{a}^{b} e^{x^2} \, dx \)。
使用分部积分法，令 \( u = e^{x^2} \)，\( dv = dx \)，则 \( du = 2xe^{x^2} \, dx \)，\( v = x \)。
根据分部积分公式 \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \)，我们有：
\[ I = x e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} x \cdot 2xe^{x^2} \, dx \]
\[ I = x e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} - 2 \int_{a}^{b} x^2 e^{x^2} \, dx \]
注意到 \( x^2 e^{x^2} \) 中的 \( x^2 \) 是 \( x \) 的导数，因此我们可以再次使用分部积分法来处理这个积分。
设 \( I_1 = \int_{a}^{b} x^2 e^{x^2} \, dx \)，令 \( u = x^2 \)，\( dv = e^{x^2} \, dx \)，则 \( du = 2x \, dx \)，\( v = \frac{1}{2} e^{x^2} \)。
再次应用分部积分法，我们有：
\[ I_1 = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} \frac{1}{2} e^{x^2} \cdot 2x \, dx \]
\[ I_1 = \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} x e^{x^2} \, dx \]
将 \( I_1 \) 代入 \( I \) 的表达式中，我们得到：
\[ I = x e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} - 2 \left( \frac{1}{2} x^2 e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} x e^{x^2} \, dx \right) \]
\[ I = x e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} - x^2 e^{x^2} \bigg|_{a}^{b} + 2 \int_{a}^{b} x e^{x^2} \, dx \]
最后，我们得到一个包含 \( \int_{a}^{b} x e^{x^2} \, dx \) 的方程，这表明我们需要解一个关于 \( I \) 的二次方程。然而，由于这个积分本身没有简单的解析解，通常我们需要使用数值方法（如辛普森法则或梯形法则）来近似这个积分。
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