在解决复杂的多项式方程或积分问题时，换元法是一种高效巧算策略。它通过将原问题中的变量替换为另一个新的变量，从而简化计算过程。以下是一些换元法的巧算案例：
1. 多项式方程简化：对于形如$x^3 + ax + b = 0$的方程，可以令$t = x^3$，将原方程转化为$t + at^2 + b = 0$，然后解这个一元二次方程，最终还原得到$x$的值。
2. 三角换元：在积分中，对于形如$\sqrt{a^2 - x^2}$或$\sqrt{x^2 - a^2}$的根号表达式，可以采用三角换元，如令$x = a\sin\theta$，从而将根号内的表达式转换为$\cos\theta$，简化积分计算。
3. 对数换元：当遇到形如$x^x$的幂指函数时，可以采用对数换元，如令$y = x^x$，则$\ln y = x \ln x$，这样就可以将原问题转化为对数函数的求导或积分问题。
4. 指数换元：对于形如$\ln(x + a)$的根号表达式，可以采用指数换元，如令$u = x + a$，则$x = u - a$，这样可以将根号内的表达式转换为$\ln u$。
换元法在数学问题中的应用非常广泛，不仅可以简化计算过程，还能提高解题效率。掌握换元法的技巧，对于解决各类数学问题都大有裨益。
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