考研数学同济教材常见难点突破与解答

考研数学同济教材常见难点突破与解答

常见问题解答

考研数学同济教材作为备考的重要参考书，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的核心知识点。许多考生在复习过程中会遇到各种难点，本文将针对几个典型问题进行详细解答，帮助考生更好地理解和掌握相关概念与方法。

问题一：定积分的应用——求旋转体的体积

定积分在考研数学中占据重要地位，特别是旋转体体积的计算是考生普遍感到困难的知识点。同济教材对此有详细讲解，但很多同学仍感吃力。旋转体体积通常通过圆盘法或壳层法计算，关键在于正确设定积分变量和积分区间。

1. 圆盘法适用于旋转轴穿过旋转体几何对称轴的情况，需要将旋转体沿垂直于旋转轴的方向切片
2. 壳层法更适合旋转轴不穿过旋转体的情况，需要将旋转体沿平行于旋转轴的方向切片
3. 计算过程中要注意积分上下限的确定，以及被积函数的表达式是否正确

以计算曲线y=sinx在[0,π]上绕x轴旋转形成的旋转体体积为例：采用圆盘法时，微元体积为dV=πy2dx，积分表达式为V=∫₀^ππsin2xdx；采用壳层法时，微元体积为dV=2πxycosxdx，积分表达式为V=∫₀^π2πxcosxdx。两种方法计算结果相同，但解题思路不同，考生需根据具体问题选择合适方法。

问题二：多元函数的极值与条件极值

多元函数的极值是考研数学中的重点和难点，条件极值更是许多考生容易混淆的概念。同济教材对此有系统讲解，但理论性较强，需要考生结合具体例子深入理解。

无条件极值通常通过求偏导数并令其为零得到驻点，再通过二阶偏导数检验极值类型。以函数f(x,y)=x3-3xy+y3为例，其偏导数f_x=3x2-3y，f_y=-3x+3y2，令偏导数为零可得驻点(0,0)和(1,1)。进一步计算二阶偏导数f_xx=6x，f_yy=6y，f_xy=-3，在点(0,0)处，A=0，B=-3，C=0，AC-B2<0，故不是极值点；在点(1,1)处，A=6，B=-3，C=6，AC-B2=27>0，且A>0，故为极小值点。

条件极值则需使用拉格朗日乘数法，引入拉格朗日函数L(x,y,λ)=f(x,y)+λ(φ(x,y)-c)，通过求解方程组^①?L/?x=0，^②?L/?y=0，^③?L/?λ=0得到驻点。以求解函数f(x,y)=x2+y2在约束条件x+y=1下的极值为例，拉格朗日函数为L(x,y,λ)=x2+y2+λ(x+y-1)，求解方程组^①2x+λ=0，^②2y+λ=0，^③x+y-1=0可得驻点(1/2,1/2)，此时函数值为1/2，经检验此为最小值点。

问题三：级数敛散性的判别

级数敛散性是考研数学中抽象性较强的内容，同济教材对此有系统介绍，但各种判别法容易混淆。考生需要理解每种方法的适用条件和局限性，并通过典型例题加深理解。

正项级数常见的判别法包括比较判别法、比值判别法和根值判别法。以级数∑(n=1^∞)n/(n+1)3为例，采用比值判别法时，lim(n→∞)(n+2)/(n+1)3/n(n+1)3=lim(n→∞)(n+2)/(n(n+1)2)=0<1，故级数收敛；采用比较判别法时，可将其与p-级数比较，由于n/(n+1)3≈1/n?，p=4>1，故级数收敛。

交错级数则需使用莱布尼茨判别法，需要同时满足三项条件：①绝对值单调递减，②极限趋于零。以级数∑(-1)ⁿn/(n+1)为例，虽然lim(n→∞)n/(n+1)=1≠0，故级数发散。而级数∑(-1)ⁿ1/n也需同时满足上述两个条件才能判断收敛。

学习建议

考研数学复习需要注重基础知识的理解和应用能力的培养。同济教材内容系统全面，但部分章节理论性较强，需要考生结合习题深入理解。建议考生在复习过程中注重以下几点：

要注重基本概念的理解，避免死记硬背。例如，在学习定积分时，要理解其几何意义和物理意义，而不仅仅是记住计算公式。

要注重解题方法的总结，建立自己的解题体系。例如，在解决多元函数极值问题时，要能够根据问题的特点选择合适的方法，并熟练运用拉格朗日乘数法。

要多做习题，通过练习巩固知识点，提高解题能力。在做题过程中，要注意总结经验教训，建立错题本，及时纠正错误。

考研数学复习需要耐心和毅力，只有通过系统学习和大量练习，才能取得理想的成绩。希望本文的解答能够帮助考生更好地理解和掌握同济教材中的重点难点，为考研数学复习提供一些参考和帮助。