考研数学真题150题难点解析与应试技巧

考研数学真题150题是考生备考过程中不可或缺的重要资料，涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计的精华内容。这些题目不仅难度适中，还能有效检验考生的知识掌握程度和解题能力。然而，不少考生在刷题时常常遇到瓶颈，对某些典型问题感到困惑。本文将结合历年真题，深入剖析3-5个常见问题，并提供详尽的解答思路，帮助考生突破难点，提升应试水平。通过对这些问题的分析，考生可以更好地理解考点分布，掌握解题技巧，为最终的高分目标奠定坚实基础。

问题一：定积分的应用——旋转体体积计算

在考研数学真题中，定积分的应用部分经常出现旋转体体积计算的题目，这类问题不仅考察了考生对定积分基本公式的掌握，还考验了空间想象能力和解题的灵活性。下面我们通过一个典型例子来解析这类问题的解题思路。

【例题】求曲线y=lnx在x=1和x=2之间绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

【解答】我们需要明确旋转体的体积计算公式。对于绕x轴旋转的曲线y=f(x)，其在区间[a,b]上绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积V可以表示为：

V=π∫[a,b]f(x)2dx

在本题中，f(x)=lnx，a=1，b=2。因此，我们需要计算以下定积分：

V=π∫[1,2](lnx)2dx

为了计算这个定积分，我们可以采用分部积分法。设u=(lnx)2，dv=dx，则du=2lnx(1/x)dx，v=x。根据分部积分公式∫u dv=uv-∫v du，我们有：

∫(lnx)2dx=x(lnx)2-∫x·2lnx(1/x)dx

化简后得到：

∫(lnx)2dx=x(lnx)2-2∫lnx dx

对于∫lnx dx，我们再次使用分部积分法，设u=lnx，dv=dx，则du=(1/x)dx，v=x。同样地，我们有：

∫lnx dx=xlnx-∫x(1/x)dx=xlnx-x

将这个结果代入前面的式子中，我们得到：

∫(lnx)2dx=x(lnx)2-2(xlnx-x)=x(lnx)2-2xlnx+2x

因此，旋转体的体积V为：

V=π[1,2](lnx)2dx=π[2ln2+2-2(1ln1+1)]=π(2ln2+2)

这就是曲线y=lnx在x=1和x=2之间绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积。

问题二：多元函数的极值求解

多元函数的极值求解是考研数学中一个重要的考点，这类问题通常涉及到求函数的驻点和判断其极值性质。下面我们通过一个典型例子来解析这类问题的解题思路。

【例题】求函数f(x,y)=x3-3xy+y3在点(1,1)处的极值。

【解答】我们需要求出函数的驻点。驻点是函数的偏导数同时为零的点。对于函数f(x,y)=x3-3xy+y3，我们首先求出它的偏导数：

fx(x,y)=3x2-3y

fy(x,y)=-3x+3y2

令fx(x,y)=0和fy(x,y)=0，我们得到以下方程组：

3x2-3y=0

-3x+3y2=0

解这个方程组，我们得到两组解：(x,y)=(0,0)和(x,y)=(1,1)。因此，函数有两个驻点：(0,0)和(1,1)。

接下来，我们需要判断这两个驻点中哪个是极值点。为此，我们使用二阶偏导数来判断。函数的二阶偏导数为：

fxx(x,y)=6x

fyx(x,y)=-3

fy(x,y)=6y

在点(1,1)处，我们有：fxx(1,1)=6，fyx(1,1)=-3，fy(1,1)=6。根据二阶偏导数判别法，我们需要计算D=fxx(1,1)·fy(1,1)-fyx(1,1)2=6×6-(-3)2=27。因为D>0且fxx(1,1)>0，所以函数在点(1,1)处取得极小值。

因此，函数f(x,y)=x3-3xy+y3在点(1,1)处取得极小值，极小值为f(1,1)=13-3×1×1+13=-1。

问题三：级数收敛性的判断

级数收敛性的判断是考研数学中一个重要的考点，这类问题通常涉及到使用各种收敛性判别法来判断级数的收敛性。下面我们通过一个典型例子来解析这类问题的解题思路。

【例题】判断级数∑[n=1,∞](2n+1)/(n2+1)的收敛性。

【解答】为了判断级数∑[n=1,∞](2n+1)/(n2+1)的收敛性，我们可以使用比较判别法。我们观察级数的通项(2n+1)/(n2+1)，可以发现它的分子和分母都是关于n的n2的同阶无穷小。因此，我们可以将其与一个简单的p级数进行比较。

考虑p级数∑[n=1,∞]1/np，当p>1时，p级数收敛；当p≤1时，p级数发散。在本题中，我们可以将(2n+1)/(n2+1)与1/n进行比较。显然，对于足够大的n，有(2n+1)/(n2+1)<1/n。因此，我们可以将原级数与p级数∑[n=1,∞]1/n进行比较。

由于p级数∑[n=1,∞]1/n在p=1时发散，而(2n+1)/(n2+1)<1/n，根据比较判别法，我们可以得出结论：级数∑[n=1,∞](2n+1)/(n2+1)发散。

因此，级数∑[n=1,∞](2n+1)/(n2+1)是发散的。