2015年考研数学二真题难点解析与常见问题应对

2015年的考研数学二试卷在考察范围和难度上都有一定的特点，不少考生在答题过程中遇到了各种各样的问题。本文将结合真题，分析几个常见的难点，并提供详细的解答思路，帮助考生更好地理解和应对类似问题。

常见问题解答

问题一：关于函数零点存在性的证明

在2015年数学二真题中，有一道题考察了函数零点存在性的证明。不少考生在解决这个问题时感到困惑，主要是不知道如何利用中值定理或者介值定理来推导。其实，这类问题通常需要结合函数的单调性和连续性进行分析。具体来说，假设我们有一个连续函数f(x)在区间[a, b]上，且f(a)和f(b)的符号相反，那么根据介值定理，至少存在一个点c属于(a, b)，使得f(c) = 0。如果题目中还给出了函数的单调性，那么可以进一步缩小零点的范围。比如，如果f(x)在[a, b]上单调递增，那么零点唯一，且可以进一步利用牛顿迭代法等数值方法来近似求解。

问题二：关于定积分的计算技巧

定积分的计算是数学二中的重点，也是难点之一。2015年的真题中，有一道题涉及到定积分的分部积分法和换元积分法的综合运用。很多考生在计算过程中容易出错，主要是因为对积分公式的掌握不够熟练，或者没有注意到积分区间的对称性。比如，对于形如∫[a, b] f(x)dx的积分，如果f(x)是奇函数，那么结果为0；如果f(x)是偶函数，那么结果等于2∫[0, b] f(x)dx。分部积分法时，要特别注意u和dv的选择，一般来说，选择u时可以遵循“反对幂指三”的原则，即对数函数、反三角函数优先选为u，幂函数、指数函数、三角函数优先选为dv。

问题三：关于微分方程的求解方法

微分方程是数学二的另一个重要考点，2015年的真题中考察了一道一阶线性微分方程的求解问题。不少考生在解决这个问题时，没有正确理解微分方程的标准形式，导致解题过程混乱。其实，一阶线性微分方程的一般形式为dy/dx + p(x)y = q(x)，其中p(x)和q(x)是已知函数。求解这类方程，通常使用积分因子法，即首先计算积分因子μ(x) = e∫p(x)dx，然后将原方程两边同时乘以μ(x)，转化为(μ(x)y)' = μ(x)q(x)，最后对两边积分即可得到通解。在计算积分因子时，要确保积分的正确性，避免出现计算错误。