数学考研极限题难点剖析与解题策略
在数学考研的众多题型中，极限问题是考生普遍感到棘手的部分。它不仅考察基础的极限计算能力，还涉及函数连续性、导数定义等多个知识点。许多同学在解决这类问题时，容易陷入思维误区，比如忽视极限存在的必要条件，或者对洛必达法则的适用范围理解不清。本文将通过典型例题，深入分析极限题的常见难点，并提供切实可行的解题技巧，帮助考生系统掌握这一模块。
典型问题解析
问题一：求极限 lim (x→0) (sin x x) / x2
这道题看似简单，但很多考生会直接套用洛必达法则，导致计算过程冗长。正确做法是：首先观察分子为无穷小乘以无穷小形式，应先变形为等价无穷小。具体步骤如下：
- 将 sin x 在 x=0 处展开为泰勒级数：sin x = x x3/6 + O(x?)
- 代入原式得：(x x3/6 x) / x2 = -x2/6x2 = -1/6
- 因此极限值为 -1/6，而非通过两次洛必达法则得到的 0
这个例子提醒我们，极限计算需灵活运用等价无穷小替换，避免盲目使用高阶方法。
问题二：讨论极限 lim (x→∞) [x sin x arctan(x)] / √(x2+1) 的存在性
这类问题需要综合分析各部分的增速关系。解题要点在于：
- 拆分分子：原式 = [x arctan(x)] / √(x2+1) [sin x / √(x2+1)]
- 分别计算两部分极限：前者为 1/√2，后者为 0（因为 sin x 有界，分母趋于无穷）
- 最终极限为 1/√2，说明函数渐进于该值
关键在于掌握有界函数与无穷大乘积的极限性质，这是考研中的高频考点。
问题三：证明极限 lim (x→0+) xln x 不存在
证明极限不存在时，常采用反证法。正确思路是：
- 假设极限存在并设为 L
- 令 x = e(-t)，则原式转化为 lim (t→∞) -te(-t)
- 当 t→∞ 时，虽然 -te(-t)→0，但左侧无穷小趋于 0 的速度与右侧不同，导致矛盾
这类证明题需要考生具备严谨的逻辑思维，熟悉各种无穷小的比较方法。