2020考研数学一100分备考秘籍：常见问题深度解析

2020年的考研数学一竞争异常激烈，想要拿到100分以上的高分，不仅需要扎实的理论基础，更需要对常见问题有深入的理解和应对策略。本文将从多个角度出发，剖析考研数学一中的高频考点和难点，并结合实例进行详细解答，帮助考生少走弯路，高效备考。无论是函数极限、多元微积分，还是线性代数和概率统计，都能在这里找到针对性的解决方案。

常见问题解答

问题一：函数极限的求解技巧有哪些？

函数极限是考研数学一中的基础考点，也是很多考生的难点。求解函数极限时，常用的方法有以下几种：

• 洛必达法则：适用于未定式极限，如“0/0”或“∞/∞”型。在使用洛必达法则前，必须确保极限满足条件，否则可能导致错误结果。
• 等价无穷小替换：在极限计算中，利用等价无穷小可以简化计算过程。例如，当x趋近于0时，sin x ≈ x，1 cos x ≈ x2等。
• 泰勒展开：对于复杂的函数极限，可以通过泰勒展开将其转化为简单的多项式极限，从而方便计算。
• 夹逼定理：当函数极限难以直接求解时，可以通过夹逼定理来确定其极限值。例如，若存在两个函数f(x)和g(x)，且f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)，且f(x)和g(x)的极限相同，则h(x)的极限也相同。

举例说明：计算lim (x→0) (sin x x) / x3。直接代入得到“0/0”型未定式，此时可以尝试使用洛必达法则。对分子和分母分别求导，得到lim (x→0) (cos x 1) / 3x2。再次代入得到“0/0”型，继续求导，得到lim (x→0) (-sin x) / 6x。此时，利用等价无穷小sin x ≈ x，得到lim (x→0) (-x) / 6x = -1/6。这就是该极限的值。

问题二：多元微积分中的偏导数和全微分如何计算？

多元微积分是考研数学一的重点内容，其中偏导数和全微分的计算是考生需要掌握的核心技能。下面详细介绍这两种概念的求解方法：

偏导数是指当一个多元函数中的某个自变量发生变化时，函数值的变化率。计算偏导数时，只需要将其他自变量视为常数，然后对目标自变量求导即可。例如，对于函数f(x, y) = x2 + y3，其关于x的偏导数为?f/?x = 2x，关于y的偏导数为?f/?y = 3y2。

全微分则考虑了所有自变量同时变化时函数值的变化情况。计算全微分时，需要先求出各个偏导数，然后将它们与对应自变量的微小变化量相乘并求和。具体来说，函数f(x, y)的全微分为df = ?f/?x dx + ?f/?y dy。以f(x, y) = x2 + y3为例，其全微分为df = 2x dx + 3y2 dy。

在实际应用中，偏导数和全微分经常用于求解多元函数的极值和切平面方程。例如，当求函数f(x, y)的极值时，需要先求出其偏导数，然后令偏导数等于0，解得驻点。再通过二阶偏导数判断驻点的性质。而全微分则可用于求解函数的切平面方程，即在点(x?, y?)处的切平面方程为z f(x?, y?) = f?(x?, y?)(x x?) + f?(x?, y?)(y y?)。

问题三：线性代数中的特征值和特征向量如何求解？

线性代数是考研数学一的另一大模块，其中特征值和特征向量的求解是考生需要重点掌握的内容。下面从定义和计算方法两个方面进行详细解析：

特征值和特征向量的定义：对于一个n阶方阵A，如果存在一个数λ和一个非零向量x，使得Ax = λx，那么λ就是A的特征值，x就是A对应于λ的特征向量。换句话说，特征向量是在矩阵变换下方向保持不变的非零向量，而特征值则表示该变换对特征向量的伸缩比例。

特征值和特征向量的求解方法：根据定义，Ax λx = 0可以转化为(A λI)x = 0，其中I是单位矩阵。由于x非零，因此(A λI)必须是奇异矩阵，即其行列式A λI = 0。解这个方程可以得到矩阵A的所有特征值λ。然后，对于每一个特征值λ，将λ代入(A λI)x = 0，解这个齐次线性方程组，即可得到对应于λ的特征向量。

举例说明：对于矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求解其特征值和特征向量。计算A λI = [1-λ, 2], [3, 4-λ] = (1-λ)(4-λ) 6 = λ2 5λ 2。解这个方程得到特征值λ? = 5 + √19，λ? = 5 √19。然后，对于λ?，将λ?代入(A λI)x = 0，解得特征向量x? = [1, (3 √19)/2]；对于λ?，将λ?代入(A λI)x = 0，解得特征向量x? = [1, (3 + √19)/2]。

特征值和特征向量在实际应用中有着广泛的应用，例如在振动分析、量子力学等领域。因此，考生不仅要掌握其计算方法，还要理解其物理意义和几何意义。