2014年考研数学二真题重点难点解析与常见问题解答

2014年的考研数学二真题在题目设计和难度分布上展现了较强的区分度，既考察了考生的基础知识掌握情况，也突出了对综合应用能力的考查。许多考生在作答过程中遇到了各种各样的问题，尤其是对于一些新颖的题型和复杂的计算过程感到无从下手。为了帮助考生更好地理解真题，掌握解题技巧，我们整理了几个常见问题的解答，希望能够为正在备考的同学们提供一些参考和帮助。

问题一：关于一元函数微分学的综合应用题如何求解？

一元函数微分学的综合应用题在2014年数学二真题中占比较大，这类题目往往涉及多个知识点，需要考生具备较强的逻辑思维和计算能力。例如，真题中有一道题目要求考生通过微分中值定理证明某个不等式成立，很多考生在作答时由于对定理的理解不够深入，导致无法找到合适的切入点。针对这类问题，我们建议考生首先要熟练掌握微分中值定理、洛必达法则等核心定理，其次要学会通过画图辅助思考，找出题目中的关键信息。下面我们以真题中的一道典型题目为例，详细解析这类问题的解题思路。

题目：设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且满足f(0)=0，f(1)=1。证明：存在唯一的实数c∈(0,1)，使得f(c)=c。

解答：我们构造一个新的函数g(x)=f(x)-x，根据题意，g(x)在闭区间[0,1]上连续。由于g(0)=f(0)-0=0，g(1)=f(1)-1=0，根据罗尔定理，存在至少一个实数c∈(0,1)，使得g(c)=0，即f(c)=c。接下来，我们需要证明这样的c是唯一的。为此，我们假设存在两个不同的实数c1、c2∈(0,1)，且c1>c2，使得f(c1)=c1，f(c2)=c2。那么根据拉格朗日中值定理，存在一个实数ξ∈(c2,c1)，使得f'(ξ)=(f(c1)-f(c2))/(c1-c2)=(c1-c2)/(c1-c2)=1。这与题目中给出的条件f'(x)在(0,1)内恒小于1矛盾。因此，这样的c是唯一的。

问题二：定积分的计算在真题中常见哪些技巧？

定积分的计算是考研数学二的常考点，2014年真题中涉及定积分的题目既有基本计算，也有结合微分方程、级数等知识点的综合题。很多考生在作答时由于对积分技巧掌握不牢固，导致计算过程繁琐甚至出错。针对这类问题，我们建议考生要熟练掌握基本的积分方法，如换元积分法、分部积分法等，同时要学会通过观察题目特点选择合适的积分方法。下面我们以真题中的一道典型题目为例，详细解析定积分计算的解题技巧。

题目：计算定积分∫[0,π/2]sin3x/cos2x dx。

解答：对于这道题目，我们可以采用换元积分法来简化计算。我们观察到被积函数中sin3x和cos2x的存在，可以考虑将cosx作为新的变量进行换元。令u=cosx，则du=-sinx dx。当x=0时，u=1；当x=π/2时，u=0。因此，原积分可以转化为∫[1,0](-u2)/(1-u2) du=∫[0,1]u2/(1-u2) du。接下来，我们可以采用部分分式法将分式拆分，即u2/(1-u2)=u2/(1-u)(1+u)=1/(1+u)+1/(1-u)-1。因此，原积分=∫[0,1]1/(1+u) du+∫[0,1]1/(1-u) du-∫[0,1]1 du=ln(1+u)-ln(1-u)[0,1]-1=ln2-0-1=ln2-1。

问题三：如何快速判断级数的收敛性？

级数的收敛性是考研数学二中的一个重要考点，2014年真题中涉及级数的题目既有交错级数，也有幂级数，很多考生在作答时由于对收敛性判别方法的掌握不够系统，导致无法快速准确地判断级数的收敛性。针对这类问题，我们建议考生要熟练掌握各种级数的收敛性判别方法，如比值判别法、根值判别法、莱布尼茨判别法等，同时要学会根据题目特点选择合适的判别方法。下面我们以真题中的一道典型题目为例，详细解析级数收敛性判断的解题技巧。

题目：判断级数∑[n=1,∞](-1)n/np (p>0)的收敛性。

解答：对于这道题目，我们可以采用莱布尼茨判别法来判断级数的收敛性。根据莱布尼茨判别法，如果级数的通项满足以下两个条件：(1)通项的绝对值单调递减，(2)通项的极限为0，则级数收敛。对于本题中的级数，通项的绝对值为1/np，显然当n→∞时，1/np→0。同时，由于p>0，1/np随着n的增大而单调递减。因此，根据莱布尼茨判别法，级数∑[n=1,∞](-1)n/np (p>0)收敛。