2004年考研数学三大常考点深度解析与解题技巧
2004年考研数学试卷在考查基础知识的同时，也注重对考生综合能力的检验。不少考生在备考过程中发现，某些题型反复出现，且难度逐年提升。本文将结合历年真题，深入剖析三大常考点，并提供详尽的解题思路与技巧，帮助考生高效突破重难点。
问题一：函数零点与方程根的判定问题
函数零点与方程根的判定是考研数学中的高频考点，常与微分中值定理结合考查。这类问题不仅考查考生对基础概念的理解，还涉及逻辑推理能力。下面通过一道典型例题解析其解题方法。
【例题】设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足f(0)=f(1)，证明：存在x0∈(0,1)，使得f(x0)=f(x0+1/2)。
【解答】构造辅助函数g(x)=f(x+1/2)-f(x)，其定义域为[0,1/2]。由于f(x)在[0,1]上连续，故g(x)在[0,1/2]上连续。接着，计算g(0)=f(1/2)-f(0)，g(1/2)=f(1)-f(1/2)=-f(1/2)。若g(0)=0，则x0=0满足条件；若g(0)≠0，则g(0)与g(1/2)符号相反，由零点定理，存在x0∈(0,1/2)，使得g(x0)=0，即f(x0)=f(x0+1/2)。证毕。
此类问题关键在于构造合适的辅助函数，并灵活运用零点定理。考生需注意连续性与区间端点值的符号关系，避免忽略边界情况。
问题二：定积分的应用与计算技巧
定积分的应用是考研数学的必考内容，涉及面积、体积、弧长等几何问题，以及物理、经济类应用题。这类问题不仅考查计算能力，更考查考生将实际问题抽象为数学模型的能力。下面以一道几何应用题为例说明解题思路。
【例题】求曲线y=lnx与y=x-2在第一象限所围图形的面积，并求该图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
【解答】联立方程组解得交点(1,-1)和(2,0)。积分区间为[1,2]，面积计算公式为S=∫[1,2](x-2-lnx)dx。通过分部积分法可得S=1-1/2ln2。体积计算公式为V=π∫[1,2]((x-2)2-xlnx)dx，经计算得V=5π/3-2πln2。此类问题需注意积分边界的确定，以及旋转体体积公式的正确选用。
考生在备考时应熟练掌握各种几何量的积分公式，并注意积分顺序的调整技巧。对于复杂区域，可考虑分割或补区域简化计算。
问题三：级数敛散性的判别方法
级数敛散性是考研数学的重点考查内容，涉及数项级数和函数项级数两大类。这类问题常考查多种判别方法的综合运用，对考生的逻辑思维和计算能力要求较高。下面通过一道综合题解析其解题步骤。
【例题】判别级数∑[n=1,∞](-1)n/np(1+cosnπ/4)的敛散性。
【解答】观察通项绝对值(-1)n/np(1+cosnπ/4)=1+cosnπ/4/np。由于1+cosnπ/4的取值在[0,2]之间，可考虑比较判别法。当p>1时，级数∑[n=1,∞]1/np收敛，故原级数绝对收敛；当0 此类问题解题关键在于分类讨论思想的应用，以及多种判别方法的灵活选用。考生需特别注意交错级数与绝对值级数之间的联系与区别。