1987年数学考研经典问题深度解析

1987年的数学考研题目至今仍被视为备考的重要参考，其难度和深度体现了当年考研的选拔标准。本文精选了3-5道典型问题，结合百科网风格进行详细解答，力求帮助考生理解解题思路和关键步骤。通过对这些问题的剖析，考生可以更好地把握考研数学的命题规律和解题技巧。

问题一：函数极限的计算与证明

问题：计算极限 lim (x→0) [sin(x) x]/(x3)。此题考察了考生对基本极限定理的掌握程度，以及运用洛必达法则的技巧。

解答：我们观察到当x→0时，分子和分母均趋近于0，满足洛必达法则的使用条件。因此，我们可以对分子和分母分别求导：

lim (x→0) [sin(x) x]/(x3) = lim (x→0) [cos(x) 1]/(3x2)

继续应用洛必达法则，得到：

lim (x→0) [cos(x) 1]/(3x2) = lim (x→0) [-sin(x)]/(6x) = -1/6

因此，原极限的值为-1/6。此题的关键在于熟练掌握洛必达法则的适用条件和求导技巧，同时注意分母的次数对极限值的影响。

问题二：多元函数的偏导数与全微分

问题：设z = x2 sin(y) + y2 sin(x)，求z在点(π, π)处的全微分。此题考察了考生对多元函数偏导数和全微分概念的理解。

解答：我们需要计算z对x和y的偏导数。对x求偏导时，将y视为常数，得到：

?z/?x = 2x sin(y) + y2 cos(x)

在点(π, π)处，sin(π) = 0，cos(π) = -1，因此：

?z/?x (π, π) = 2π 0 + π2 (-1) = -π2

同理，对y求偏导时，将x视为常数，得到：

?z/?y = x2 cos(y) + 2y sin(x)

在点(π, π)处，cos(π) = -1，sin(π) = 0，因此：

?z/?y (π, π) = π2 (-1) + 2π 0 = -π2

因此，z在点(π, π)处的全微分为：

dz = ?z/?x dx + ?z/?y dy = -π2 dx π2 dy

此题的关键在于正确计算偏导数，并注意三角函数在特殊点处的值。

问题三：级数的收敛性与求和

问题：判断级数 ∑ (n=1 to ∞) [n/(n+1)]n 的收敛性，并求其和（如果收敛）。此题考察了考生对级数收敛性判别法的掌握。

解答：我们考虑级数的一般项 a_n = [n/(n+1)]n。当n→∞时，a_n 趋近于1/e，因为：

lim (n→∞) [n/(n+1)]n = lim (n→∞) [1 1/(n+1)]n = 1/e

由于一般项不趋近于0，根据级数收敛的必要条件，原级数发散。此题的关键在于理解级数收敛的必要条件，并掌握一般项的极限计算方法。