考研数学公式总结大全：重点难点精解

考研数学公式是考生复习的核心，涵盖高等数学、线性代数和概率论三大板块。本站精心整理的公式总结大全，不仅系统梳理了常考公式，还针对易错点、重点题型进行深度解析。通过图表、例题和口诀记忆法，帮助考生快速掌握核心考点，提升解题效率。无论是基础薄弱还是冲刺阶段，都能找到适合自己的学习路径。下面，我们将精选5个常见问题，用通俗易懂的方式解答，让你轻松突破数学瓶颈。

问题1：定积分的计算有哪些常用技巧？

定积分的计算是考研数学中的高频考点，技巧性强。分部积分法是核心工具，公式为∫u dv = uv ∫v du，常用于处理幂函数乘以指数函数、三角函数或对数函数的情况。比如计算∫x sin x dx时，可设u = x，dv = sin x dx，然后转化为∫sin x dx ∫x cos x dx，进一步简化。换元法也很关键，特别是三角换元，如∫√(1-x2) dx可令x = sin θ，利用三角恒等式简化积分。分项积分和周期函数的性质也常被用到，比如∫(1/x) dx = lnx，以及∫f(x) dx在[0,2π]上的周期性积分可拆分。特别提醒，分段函数的积分要单独处理每一段，确保连续性。

问题2：多元函数的偏导数和全微分如何区分？

偏导数和全微分是多元微积分的基础，易混淆但本质不同。偏导数考察的是函数沿某个坐标轴的变化率，计算时其他变量视为常数。比如f(x,y)对x的偏导为?f/?x = lim(Δx→0) [f(x+Δx,y) f(x,y)/Δx]，只关注x的变化。而全微分则考虑所有自变量变化对函数的影响，公式为df = ?f/?x dx + ?f/?y dy，是线性近似。简单说，偏导数是“单兵作战”，全微分是“协同作战”。举个栗子，f(x,y) = x2 + y2，?f/?x = 2x，但全微分是df = 2x dx + 2y dy。特别注意的是，函数可微必可偏导，但可偏导不一定可微，这是因为偏导数只保证沿坐标轴连续，全微分要求更严格的连续性条件。

问题3：线性代数中特征值和特征向量的求解要点是什么？

特征值和特征向量在线性代数中极为重要，常考计算和性质辨析。求解特征值的关键是解方程λE A = 0，其中A是矩阵，E是单位矩阵，λ是特征值。比如对于矩阵A = [[1,2],[3,4]]，计算λ[[1,0],[0,1]] [[1,2],[3,4]] = (λ-1)2 6 = λ2 2λ 5 = 0，解得λ? = 1 + √6，λ? = 1 √6。求特征向量则是在每个λ下解方程(λE A)x = 0，得到非零解x。比如对λ?，解[[√6,2],[-2,√6]]x = 0，得特征向量可取[1,-√6]。记住，特征向量必是非零向量，且不同特征值对应的特征向量线性无关。特征值的性质要熟练，如矩阵的迹等于特征值之和，行列式等于特征值之积。

问题4：概率论中条件概率和全概率公式如何应用？

条件概率和全概率公式是概率论的核心，常结合实际问题考查。条件概率P(AB)表示在B发生的前提下A发生的概率，公式为P(AB) = P(A∩B)/P(B)，特别当P(B)>0时可直接计算。比如袋中有3白2黑球，摸两次，已知第一次是白球，求第二次也是白球的概率，P(第二次白第一次白) = (3白-1)/总球数 = 2/5。全概率公式则是通过分解样本空间，将复杂事件分解为小事件的和，公式为P(B) = ΣP(A?)P(BA?)，其中A?两两互斥且全集为Ω。比如掷两个骰子，点数和大于9的概率，可分解为点数和=10或11两种情况，分别计算P(和=10)和P(和=11)，再求和。应用时注意检查事件是否互斥，以及条件概率是否已知或可计算。

问题5：级数收敛性的判别有哪些常用方法？

级数收敛性是考研数学的难点，掌握多种判别法能事半功倍。对于正项级数，比值判别法最常用，即lim(n→∞) a?+?/a?，若小于1则收敛。比如a? = (n+1)/2?，计算(a?+?/a?) = [(n+2)/2??1] [2?/(n+1)] = (n+2)/(2n+2) → 1/2 < 1，故收敛。根值判别法也类似，但适用于幂级数，公式为lim(n→∞) √(n) a?。交错级数则用莱布尼茨判别法，要求绝对值单调递减且极限为0。比如∑(-1)?/n，满足条件故收敛。特别提醒，比较判别法需找已知级数对比，如p-级数∫(1/n?) dx收敛当p>1。对于任意级数，需先考察绝对收敛性，若不绝对收敛再考虑条件收敛。记住，不同方法有适用范围，灵活选择是关键。