2011年考研数学2重点难点解析与常见问题解答

2011年的考研数学2考试涵盖了高等数学、线性代数和概率论与数理统计等多个重要模块，其中不少题目难度较大，需要考生具备扎实的理论基础和灵活的解题能力。本文将针对当年考试中的常见问题进行详细解答，帮助考生梳理知识点、突破难点，提升应试水平。无论是函数的极限、导数的应用，还是线性方程组的求解、概率分布的计算，都能在这里找到针对性的解析和方法总结。

问题一：2011年考研数学2高等数学部分常见问题解答

2011年考研数学2的高等数学部分，不少考生反映在积分计算和微分方程求解上遇到困难。比如，定积分的换元法和分部积分技巧，以及二阶常系数线性微分方程的通解求解，都是考试中的高频考点。下面以一个典型问题为例，进行详细解析。

【问题】计算定积分 ∫₀¹ x2arctanx dx 的值。

【解答】这个问题可以通过分部积分法来解决。设 u = arctanx，dv = x2dx，那么 du = (1/(1+x2))dx，v = (1/3)x3。根据分部积分公式 ∫u dv = uv ∫v du，可以得到：

∫₀¹ x2arctanx dx = (1/3)x3arctanx ₀¹ ∫₀¹ (1/3)x3(1/(1+x2))dx

计算第一项，代入上限和下限得 (1/3)×13×(π/4) (1/3)×03×0 = π/12。第二项可以简化为：

∫₀¹ (1/3)x3/(1+x2) dx = (1/3)∫₀¹ (x3 + x x)/(1+x2) dx = (1/3)∫₀¹ (x x2/(1+x2)) dx

继续拆分，得到 (1/3)[∫₀¹ x dx ∫₀¹ x2/(1+x2) dx]。第一部分 ∫₀¹ x dx = (1/2)x2 ₀¹ = 1/2。第二部分需要进一步处理，可以写成：

∫₀¹ x2/(1+x2) dx = ∫₀¹ (1 1/(1+x2)) dx = [x arctanx] ₀¹ = 1 π/4

所以原积分变为 (1/3)[1/2 (1 π/4)] = (1/3)(π/4 1/2)。最终结果为 π/12 (1/6)。

问题二：2011年考研数学2线性代数部分常见问题解答

线性代数部分在2011年考试中，矩阵运算和特征值问题成为难点。许多考生在求矩阵的逆或者判断矩阵的可逆性时容易出错。下面通过一个具体问题来说明解题思路。

【问题】设矩阵 A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵 A 的逆矩阵。

【解答】要判断矩阵 A 是否可逆，需要计算其行列式 A。对于 2×2 矩阵，行列式的计算公式为 ad bc。所以 A = 1×4 2×3 = -2。因为行列式不为零，矩阵 A 可逆。

接下来，根据 2×2 矩阵的逆矩阵公式 A?1 = (1/A)×[[d, -b], [-c, a]]，可以得到：

A?1 = (1/-2)×[[4, -2], [-3, 1]] = [[-2, 1], [3/2, -1/2]]

这个结果就是矩阵 A 的逆矩阵。在实际考试中，还需要验证计算结果的正确性，可以通过 A×A?1 = I 来检查。

问题三：2011年考研数学2概率论与数理统计部分常见问题解答

概率论与数理统计部分在2011年考试中，重点考察了随机变量的分布和期望计算。不少考生在处理复杂随机变量的独立性时感到棘手。下面以一个典型问题为例进行解析。

【问题】设随机变量 X 服从参数为 λ 的泊松分布，Y = X2，求 E(Y)。

【解答】根据泊松分布的性质，E(X) = λ，D(X) = λ。因为 Y = X2，所以需要计算 E(X2)。

根据方差的定义，D(X) = E(X2) [E(X)]2。所以 E(X2) = D(X) + [E(X)]2 = λ + λ2。

因此，E(Y) = E(X2) = λ + λ2。这个结果展示了泊松分布的一个重要性质：对于泊松分布的随机变量 X，E(X2) = λ + λ2。