2017年考研数学二高频考点深度解析与突破

2017年的考研数学二考试中，不少考生在复习过程中遇到了一些典型的难点和易错点。本文将结合当年真题的反馈，针对数量学部分常见的三大问题进行深入剖析，并提供详尽的解题思路和技巧。这些问题不仅反映了考试的重点方向，也体现了考生在知识应用上的薄弱环节。通过对这些问题的解答，考生可以更清晰地把握复习方向，提升应试能力。

问题一：函数零点与方程根的判定问题

在2017年的考研数学二中，关于函数零点与方程根的判定问题成为了不少考生的“拦路虎”。这类问题往往涉及介值定理、罗尔定理等知识点的综合运用，考生容易在逻辑推理和计算过程中出现偏差。下面我们通过一个典型例题来详细解析这类问题的解题思路。

【例题】设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且满足f(0)=f(1)。证明：存在一个点ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。

【解答】根据题意，函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=f(1)。根据罗尔定理，如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且在区间两端点的函数值相等，那么在开区间内至少存在一个点ξ，使得f'(ξ)=0。

具体来说，由于f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)，因此根据罗尔定理，必然存在ξ∈(0,1)，使得f'(ξ)=0。这个结论不仅证明了存在性，也给出了寻找零点的方法。在实际考试中，考生需要灵活运用罗尔定理的条件和结论，结合具体题目进行判断。

问题二：定积分的计算与证明问题

定积分的计算与证明问题是考研数学二中的另一个常见难点。这类问题不仅考察考生对定积分基本公式的掌握程度，还涉及到积分技巧和逻辑推理能力。下面我们通过一个典型例题来解析这类问题的解题思路。

【例题】计算定积分∫₀¹sin(x2)dx的近似值。

【解答】由于被积函数sin(x2)的原函数不能用初等函数表示，因此直接计算定积分比较困难。这时，我们可以采用数值积分的方法来近似计算。常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法等。

这里我们采用梯形法来近似计算。将积分区间[0,1]等分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=1/n。梯形法的公式为：

∫₀¹sin(x2)dx≈(h/2)[f(0)+2f(h)+2f(2h)+…+2f((n-1)h)+f(1)]

取n=10，计算得到：

∫₀¹sin(x2)dx≈(0.1/2)[sin(0)+2sin(0.01)+2sin(0.04)+…+2sin(0.99)+sin(1)]≈0.3103

这个结果可以作为sin(x2)在[0,1]上的定积分的近似值。数值积分的精度与分割的区间数n有关，n越大，精度越高。

问题三：级数收敛性的判别问题

级数收敛性的判别问题是考研数学二中的另一个常见难点。这类问题不仅考察考生对级数基本概念的掌握程度，还涉及到多种判别方法的灵活运用。下面我们通过一个典型例题来解析这类问题的解题思路。

【例题】判别级数∑_n=1^∞(n+1)/(2n+1)的收敛性。

【解答】我们观察级数的一般项a_n=(n+1)/(2n+1)。当n→∞时，a_n→1/2。由于一般项不趋于0，根据级数收敛的必要条件，该级数发散。

具体来说，级数收敛的必要条件是一般项a_n趋于0。如果一般项不趋于0，那么级数必然发散。在这个例子中，由于a_n→1/2≠0，因此级数∑_n=1^∞(n+1)/(2n+1)发散。

这个结论不仅适用于这个具体的级数，也适用于一般的级数判别问题。在实际考试中，考生需要灵活运用级数收敛的必要条件和各种判别方法，结合具体题目进行判断。