张宇考研1000题第一章核心考点深度解析

考研数学的《张宇1000题》是备考过程中不可或缺的练习资料，第一章通常涵盖高等数学的基础概念与计算。很多同学在初次接触时容易感到困惑，尤其是对极限、连续性等抽象概念的掌握。本文将结合张宇老师的教学风格，针对第一章中的常见难点进行梳理，帮助大家建立清晰的知识框架。内容不仅包含解题技巧，更注重思维方式的培养，适合所有希望通过强化训练提升数学能力的考生。

第一章常见问题与解答

问题1：如何理解函数极限的ε-δ定义？

函数极限的ε-δ定义是高等数学的基石，但确实让不少同学望而却步。简单来说，当我们说“当x趋近于a时，函数f(x)趋近于A”，用ε-δ语言就是：对于任意给定的正数ε（代表我们要求的接近程度），总存在一个正数δ（决定x与a的接近范围），使得只要0＜x-a＜δ，就一定有f(x)-A＜ε。这个定义的核心在于“任意”和“存在”，前者强调ε可以无限小，后者则说明δ会随ε的变化而变化。比如，在证明lim(x→2)(x+1)=3时，我们可以选择δ=ε，这样当x-2＜δ时，显然有(x+1)-3＜ε成立。理解这个定义的关键是反复练习，通过具体例子感受ε和δ的对应关系，逐渐摆脱形式化带来的恐惧。

问题2：极限存在与左右极限存在的关系是什么？

极限存在的条件之一就是函数在自变量趋近某点时的左极限和右极限都存在且相等。换句话说，如果左极限和右极限不相等，或者其中一个不存在，那么整体的极限就不存在。举个例子，考虑函数f(x) = x在x→0时的极限。左极限是lim(x→0?)x = lim(x→0?)-x = 0，右极限是lim(x→0?)x = lim(x→0?)x = 0，左右极限相等，所以整体极限lim(x→0)x = 0存在。但如果函数在x→a时呈现出跳跃间断型，比如f(x) = 1/x在x→0时，左极限为负无穷，右极限为正无穷，显然不相等，因此极限不存在。掌握这个关系，可以帮助我们快速判断一些复杂函数的极限是否存在，尤其是在面对分段函数时，计算左右极限往往是首选策略。

问题3：函数在一点连续需要满足哪些条件？

函数在某一点a连续，需要同时满足三个条件，缺一不可。第一，函数在该点必须有定义，即f(a)存在；第二，当自变量x趋近于a时，函数的极限lim(x→a)f(x)必须存在；第三，这个极限的值要等于函数在该点的函数值，也就是lim(x→a)f(x) = f(a)。这三个条件可以通俗地理解为“有定义”、“极限存在”和“极限值等于函数值”。举个例子，函数f(x) = x2在x=1处是连续的，因为f(1)=1，lim(x→1)x2=1，而且这两个值相等。但如果函数在某点比如x=0处无定义，或者极限不存在（比如振荡），或者极限值不等于函数值（比如f(x)在x=0处定义为0，但极限为1），那么函数在该点就是间断的。理解连续性的这三个要素，对于后续学习闭区间上连续函数的性质以及证明函数连续性都至关重要。