2010考研数学二重点难点解析及备考策略

2010年的考研数学二考试对于许多考生来说是一次重要的挑战，其中涉及到的知识点和题型相对复杂，需要考生有扎实的理论基础和灵活的解题能力。本文将针对几个常见的考点问题进行详细解析，帮助考生更好地理解和掌握相关内容，为考试做好充分准备。

问题一：关于函数极限的计算方法

在2010年的考研数学二中，函数极限的计算是考生普遍感到困惑的一个问题。很多同学在遇到复杂的极限问题时，往往不知道从何处入手。其实，函数极限的计算方法多种多样，常见的有代入法、因式分解法、有理化法、等价无穷小替换法等。下面我们通过一个具体例子来说明。

例如，计算极限 lim (x→2) (x2-4)/(x-2)。对于这个极限，很多同学可能会直接代入x=2，结果分母为0，无法计算。这时，我们可以采用因式分解法，将分子进行因式分解，得到 (x+2)(x-2)/(x-2)，然后约去分母中的(x-2)，最终结果为4。再比如，计算 lim (x→0) (sin x)/x，这个极限可以通过等价无穷小替换法来解决，因为当x→0时，sin x≈x，所以原极限等于1。

函数极限的计算需要考生灵活运用各种方法，根据具体问题选择合适的方法。同时，考生还需要注意一些常见的陷阱，比如不要在分母为0时直接代入，要考虑进行变形处理。

问题二：关于导数的应用

导数的应用是考研数学二中的一个重要考点，也是很多考生容易出错的地方。在2010年的考试中，导数的应用主要体现在函数的单调性、极值、最值以及曲线的凹凸性等方面。下面我们以函数的单调性为例，说明导数在实际问题中的应用。

假设我们要研究函数f(x)=x3-3x+2在区间[-2,2]上的单调性。我们需要求出函数的导数f'(x)=3x2-3。然后，令f'(x)=0，解得x=±1。这两个点将区间[-2,2]分为三个部分：[-2,-1]、[-1,1]、[1,2]。接下来，我们分别在这三个区间内取测试点，并判断导数的符号。

当x∈[-2,-1]时，取x=-1.5，此时f'(-1.5)=3(-1.5)2-3=3(2.25)-3=4.25>0，所以函数在[-2,-1]上单调递增；当x∈[-1,1]时，取x=0，此时f'(0)=3(0)2-3=-3<0，所以函数在[-1,1]上单调递减；当x∈[1,2]时，取x=1.5，此时f'(1.5)=3(1.5)2-3=3(2.25)-3=4.25>0，所以函数在[1,2]上单调递增。

通过以上分析，我们可以得出结论：函数f(x)=x3-3x+2在区间[-2,-1]和[1,2]上单调递增，在区间[-1,1]上单调递减。这样的分析不仅可以帮助我们理解函数的单调性，还可以用于求解函数的极值和最值等问题。

问题三：关于定积分的计算技巧

定积分的计算是考研数学二中另一个重要的考点，也是很多考生感到头疼的问题。在2010年的考试中，定积分的计算主要涉及到换元法、分部积分法以及一些特殊技巧的应用。下面我们通过一个具体例子来说明定积分的计算技巧。

例如，计算定积分 ∫[0,π/2] sin2x dx。对于这个积分，我们可以采用换元法来简化计算。利用三角恒等式 sin2x=(1-cos2x)/2，将原积分变形为 ∫[0,π/2] (1-cos2x)/2 dx。然后，将积分拆分为两个部分：∫[0,π/2] 1/2 dx 和 ∫[0,π/2] -cos2x/2 dx。

对于第一个部分，∫[0,π/2] 1/2 dx = (1/2) [x]_[0,π/2] = (1/2) (π/2 0) = π/4。对于第二个部分，我们可以再次利用换元法，令u=2x，则du=2dx，dx=du/2。当x=0时，u=0；当x=π/2时，u=π。因此，∫[0,π/2] -cos2x/2 dx = -1/4 ∫[0,π] cosu du = -1/4 [sinu]_[0,π] = -1/4 (sinπ sin0) = 0。

将两个部分的结果相加，得到 ∫[0,π/2] sin2x dx = π/4 + 0 = π/4。通过这个例子，我们可以看到，换元法在定积分计算中的重要作用，能够简化复杂的积分表达式，使计算过程更加清晰和高效。