24年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x = 0$，$x = 1$，$x = -1$
B. $x = 0$，$x = -1$，$x = 1$
C. $x = 1$，$x = -1$，$x = 2$
D. $x = 1$，$x = -1$，$x = 0$
【答案】D
2. 设$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f'(0)$的值为：
A. $2$
B. $1$
C. $0$
D. $-1$
【答案】A
3. 设$a > 0$，$b > 0$，则$\lim_{x \to \infty} \frac{a^x + b^x}{a^x - b^x}$的值为：
A. $1$
B. $-1$
C. $0$
D. 无穷大
【答案】B
二、填空题
1. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(x) = \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$。
2. 设$f(x) = x^3 - 3x + 1$，则$f'(x) = 3x^2 - 3$。
3. 设$f(x) = e^x + e^{-x}$，则$f'(x) = e^x - e^{-x}$。
三、解答题
1. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x + 1$，求$f(x)$的极值。
【解答】
首先求出$f'(x) = 3x^2 - 3$，令$f'(x) = 0$，解得$x = \pm 1$。当$x < -1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$-1 < x < 1$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减；当$x > 1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增。因此，$f(x)$在$x = -1$处取得极大值$f(-1) = 3$，在$x = 1$处取得极小值$f(1) = -1$。
2. 已知函数$f(x) = e^x + e^{-x}$，求$f(x)$的导数。
【解答】
由导数的定义，得$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x + \Delta x} + e^{-(x + \Delta x)} - e^x - e^{-x}}{\Delta x}$。将$e^{x + \Delta x} = e^x \cdot e^{\Delta x}$，$e^{-(x + \Delta x)} = e^{-x} \cdot e^{-\Delta x}$代入上式，得$f'(x) = e^x - e^{-x}$。
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