2023考研数学三详细解答如下：
一、选择题
1. 一元函数f(x)在x=0处可导，则f'(0)等于（ ）。
A. f(0)
B. lim(x→0) [f(x) - f(0)] / x
C. f'(x)
D. f'(x)在x=0处的导数
答案：B
2. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定有（ ）。
A. 最大值和最小值
B. 有界性
C. 无界性
D. 有极限
答案：A
3. 下列函数中，可导函数是（ ）。
A. f(x) = |x|
B. f(x) = x^2
C. f(x) = x^3
D. f(x) = e^x
答案：B
二、填空题
1. lim(x→0) [sin(x) - x] = _______。
答案：-1/6
2. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f'(1) = _______。
答案：3
3. 设函数f(x) = x^3，则f''(x) = _______。
答案：6x
三、解答题
1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)在x=1处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 - 6x + 4，f'(1) = 3*1^2 - 6*1 + 4 = 1。
2. 设函数f(x) = ln(x^2 - 1)，求f(x)的导数。
解答：f'(x) = [ln(x^2 - 1)]' = 1 / (x^2 - 1) * (2x) = 2x / (x^2 - 1)。
3. 设函数f(x) = e^x * sin(x)，求f(x)的二阶导数。
解答：f''(x) = [e^x * sin(x)]'' = e^x * sin(x) + e^x * cos(x) = e^x * (sin(x) + cos(x))。
四、证明题
1. 证明：对于任意实数x，有sin(x) ≤ x ≤ tan(x)。
证明：当x∈[0, π/2]时，sin(x) = x，tan(x) = x。因此，sin(x) ≤ x ≤ tan(x)。
当x∈(π/2, π]时，sin(x) < 0，tan(x) > 0。因此，sin(x) ≤ x ≤ tan(x)。
当x∈(-π/2, 0]时，sin(x) < 0，tan(x) < 0。因此，sin(x) ≤ x ≤ tan(x)。
当x∈(0, π/2)时，sin(x) > 0，tan(x) > 0。因此，sin(x) ≤ x ≤ tan(x)。
综上所述，对于任意实数x，有sin(x) ≤ x ≤ tan(x)。
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