2010年考研数学二真题及解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(x)$的零点为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：B
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 2$。
2. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$为（ ）
A. $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$ B. $\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{bmatrix}$ D. $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$
答案：A
解析：$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} = \frac{1}{1*4-2*3} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$。
3. 设$f(x) = \ln x$，则$f''(x)$为（ ）
A. $\frac{1}{x^2}$ B. $\frac{1}{x}$ C. $-\frac{1}{x^2}$ D. $-\frac{1}{x}$
答案：A
解析：$f'(x) = \frac{1}{x}$，$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$。
二、填空题
1. 设$f(x) = \frac{1}{x^2}$，则$f'(x)$为（ ）
答案：$-\frac{2}{x^3}$
解析：$f'(x) = -2x^{-3}$。
2. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^2$为（ ）
答案：$\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 18 & 24 \end{bmatrix}$
解析：$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1*1 + 2*3 & 1*2 + 2*4 \\ 3*1 + 4*3 & 3*2 + 4*4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 18 & 24 \end{bmatrix}$。
三、解答题
1. 求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^3}$。
答案：$-2$
解析：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 2x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{-8\cos 2x}{6} = -2$。
2. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
答案：极大值$f(1) = 1$，极小值$f(2) = 1$。
解析：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$，$x = 2$。当$x < 1$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增；当$1 < x < 2$时，$f'(x) < 0$，$f(x)$单调递减；当$x > 2$时，$f'(x) > 0$，$f(x)$单调递增。因此，$f(1) = 1$为极大值，$f(2) = 1$为极小值。
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