2019年考研数学一第20题考查了线性代数中的矩阵运算与特征值问题。题目给出了一个具体的矩阵，要求考生计算该矩阵的特征值和特征向量，并利用这些信息求解特定的线性方程组。
解答过程如下：
首先，设矩阵A为：
\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]
接下来，求解特征值。设特征值为λ，则有：
\[ \det(A - λI) = 0 \]
\[ \det \begin{bmatrix} 2-λ & 1 & 0 \\ 0 & 2-λ & 1 \\ 1 & 0 & 2-λ \end{bmatrix} = 0 \]
通过行列式展开，得到特征方程：
\[ (2-λ)^3 - 1 = 0 \]
\[ (2-λ)^3 = 1 \]
\[ 2-λ = 1 \]
\[ λ = 1 \]
因此，特征值为λ = 1。由于矩阵A是一个对称矩阵，其特征向量相互正交，我们可以通过求解线性方程组来找到对应的特征向量。
对于特征值λ = 1，解方程组：
\[ (A - I)x = 0 \]
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过行简化，得到：
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]
从而得到特征向量：
\[ x = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
因此，对于特征值λ = 1，对应的特征向量为：
\[ v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
通过上述步骤，我们已经找到了特征值和对应的特征向量。接下来，可以使用这些信息来求解题目中的特定线性方程组。
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