考研数学二2009年真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查了函数的极限。根据极限的定义，当x趋近于0时，f(x)趋近于1，故选A。
2. 解析：本题考查了数列的极限。根据数列极限的定义，当n趋近于无穷大时，an趋近于0，故选B。
3. 解析：本题考查了函数的连续性。根据连续的定义，当x趋近于0时，f(x)趋近于0，故选C。
4. 解析：本题考查了导数的计算。根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h，代入x=0，得f'(0) = 1，故选D。
二、填空题
5. 解析：本题考查了二阶线性微分方程的通解。根据通解公式，y = C1e^(-x) + C2e^(2x)，代入y(0) = 1，得C1 + C2 = 1；代入y'(0) = 2，得-C1 + 2C2 = 2。解得C1 = 1，C2 = 0，故答案为y = e^(-x)。
6. 解析：本题考查了定积分的计算。根据定积分的性质，∫(0,1) x^2 dx = (1/3)x^3 |(0,1) = 1/3，故答案为1/3。
三、解答题
7. 解析：本题考查了函数的极值。首先求导，得f'(x) = 2x - 6，令f'(x) = 0，得x = 3。再求二阶导数，得f''(x) = 2，f''(3) = 2 > 0，故x = 3为f(x)的极小值点，极小值为f(3) = -9。
8. 解析：本题考查了多元函数的极值。首先求偏导数，得f_x'(x,y) = 2x - 2y，f_y'(x,y) = 2y - 2x。令f_x'(x,y) = 0，得x = y；令f_y'(x,y) = 0，得y = x。解得x = y = 0。再求二阶偏导数，得f_xx''(x,y) = 2，f_yy''(x,y) = 2，f_xy''(x,y) = -2。代入x = y = 0，得A = 2，B = -2，C = 2。根据Hessian矩阵的判别法，AC - B^2 = 4 - 4 = 0，故x = y = 0为f(x,y)的鞍点。
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