2001年数学二考研真题解析如下：
一、填空题部分
1. 解析：本题考查函数的极限性质。根据极限的定义，当x趋近于0时，分子分母同时趋近于0，可利用洛必达法则求解。即：
\[\lim_{x\to 0} \frac{sinx}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{cosx}{1} = 1\]
2. 解析：本题考查数列的收敛性。根据数列收敛的定义，若数列{an}收敛，则其极限存在。由题意，数列{an}为等比数列，公比为\(\frac{1}{2}\)，故其极限为0。
二、选择题部分
1. 解析：本题考查线性方程组的解法。根据克拉默法则，若系数行列式不为0，则方程组有唯一解。计算得：
\[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 3\neq 0\]
故方程组有唯一解。
2. 解析：本题考查积分的计算。根据定积分的定义，对被积函数进行分部积分。令u = x^2，dv = e^x dx，则du = 2x dx，v = e^x。计算得：
\[\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - \int e^x dx) = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C\]
三、解答题部分
1. 解析：本题考查一元二次方程的求解。根据一元二次方程的求根公式，得：
\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]
代入a = 1，b = 1，c = 1，得：
\[x_1 = 0, x_2 = 2\]
2. 解析：本题考查多元函数的极值。根据多元函数的极值定义，计算函数在点(0,0)处的偏导数及二阶偏导数。得：
\[f_x = 2x + 3y, f_y = 3x + 2y\]
\[f_{xx} = 2, f_{yy} = 3, f_{xy} = 3\]
\[B = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \times 3 - 3^2 = -3\]
由于B < 0，故点(0,0)为函数的鞍点。
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