题目：考研数学18题讲解
解答：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解答过程：
首先，我们观察函数 \( f(x) \) 的形式，发现它是一个分式函数，且在 \( x = 1 \) 处分母为零，因此我们需要对函数进行简化。
我们可以将 \( f(x) \) 分解为：
\[ f(x) = \frac{x^3 - 3x}{x^2 - 1} = \frac{x(x^2 - 3)}{x^2 - 1} \]
接下来，我们对 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数进行求解。由于 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处无定义，我们需要对 \( f(x) \) 进行泰勒展开，找到 \( x = 1 \) 处的导数。
首先，对 \( x^2 - 3 \) 进行泰勒展开：
\[ x^2 - 3 = (1 + (x - 1))^2 - 3 = 1 + 2(x - 1) + (x - 1)^2 - 3 = 2(x - 1) + (x - 1)^2 - 2 \]
然后，对 \( x^2 - 1 \) 进行泰勒展开：
\[ x^2 - 1 = (1 + (x - 1))^2 - 1 = 1 + 2(x - 1) + (x - 1)^2 - 1 = 2(x - 1) + (x - 1)^2 \]
将上述两个展开式代入 \( f(x) \) 中，得到：
\[ f(x) = \frac{2(x - 1) + (x - 1)^2 - 2}{2(x - 1) + (x - 1)^2} \]
在 \( x = 1 \) 处，\( f(x) \) 的导数 \( f'(1) \) 为：
\[ f'(1) = \lim_{x \to 1} \frac{[2(x - 1) + (x - 1)^2 - 2] - [2(1 - 1) + (1 - 1)^2 - 2]}{2(x - 1) + (x - 1)^2 - [2(1 - 1) + (1 - 1)^2]} \]
\[ = \lim_{x \to 1} \frac{2(x - 1) + (x - 1)^2 - 2}{2(x - 1) + (x - 1)^2} \]
\[ = \frac{2(1 - 1) + (1 - 1)^2 - 2}{2(1 - 1) + (1 - 1)^2} \]
\[ = \frac{-2}{0} \]
由于 \( f'(1) \) 的极限形式为 \( \frac{0}{0} \)，我们可以使用洛必达法则进行求解。
对分子和分母分别求导，得到：
\[ \lim_{x \to 1} \frac{2 + 2(x - 1)}{2 + 2(x - 1)} \]
\[ = \lim_{x \to 1} \frac{2 + 2x - 2}{2 + 2x - 2} \]
\[ = \frac{2}{2} \]
\[ = 1 \]
因此，\( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数 \( f'(1) \) 为 1。
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