考研数学级数真题详解如下：
1. 级数求和问题：
- 题干：求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$ 的和。
- 解答：设 $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}$，则 $S = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} + \frac{3}{8} + \frac{4}{16} + \cdots$。将 $S$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 得到 $\frac{S}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{8} + \frac{3}{16} + \frac{4}{32} + \cdots$。两式相减得 $\frac{S}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \cdots$，这是一个等比级数，其和为 $1$。因此，$S = 2$。
2. 级数敛散性判断：
- 题干：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}$ 的敛散性。
- 解答：由于 $\left|\frac{\sin n}{n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}$，而级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的（由 p-级数判别法，$p > 1$），根据比较判别法，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n}{n^2}$ 也是收敛的。
3. 级数通项求和：
- 题干：求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 - 1}$ 的和。
- 解答：将级数拆分为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}\right)$，这是一个部分分式级数。通过部分分式分解和求和，可以得到级数的和为 $\frac{1}{2}$。
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