今日考研数学线性代数挑战题：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。经过计算，得到特征多项式为 \( \lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0 \)。解这个二次方程，得到特征值 \( \lambda_1 = 2 \) 和 \( \lambda_2 = 3 \)。
对于特征值 \( \lambda_1 = 2 \)，求解方程组 \( (A - 2I)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \)。对于特征值 \( \lambda_2 = 3 \)，求解方程组 \( (A - 3I)x = 0 \)，得到特征向量 \( x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \)。
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