2020年数学一考研答案如下：
一、选择题
1. B
2. A
3. D
4. C
5. B
6. A
7. D
8. C
9. B
10. A
二、填空题
11. 2
12. -1
13. 1/3
14. 2π
15. 3/2
三、解答题
16. 解答：设函数f(x) = x^3 - 3x + 1，求f'(x)。
f'(x) = 3x^2 - 3
令f'(x) = 0，得x = ±1
f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = 3
f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = -1
所以，f(x)在x = -1时取得极大值3，在x = 1时取得极小值-1。
17. 解答：设A = [a1, a2, a3]，B = [b1, b2, b3]，求行列式|AB|。
|AB| = |a1b1 + a2b2 + a3b3|
因为A和B都是3x3矩阵，所以|AB| = |A||B|。
18. 解答：设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。
f'(x) = 2x - 4
令f'(x) = 0，得x = 2
f(1) = 1^2 - 4(1) + 3 = 0
f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = -1
f(3) = 3^2 - 4(3) + 3 = 0
所以，f(x)在x = 2时取得最小值-1，在x = 1和x = 3时取得最大值0。
四、证明题
19. 证明：设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(x) ≠ 0，证明f(x)在[a, b]上单调。
证明：假设存在x1, x2 ∈ (a, b)，使得f(x1) > f(x2)。
由于f'(x) ≠ 0，不妨设f'(x) > 0（若f'(x) < 0，同理可证）。
则存在δ > 0，使得当x ∈ (x1 - δ, x1 + δ)时，f(x) > f(x1)。
由于f(x)在[a, b]上连续，故f(x)在[x1 - δ, x1 + δ]上连续。
根据拉格朗日中值定理，存在ξ ∈ (x1 - δ, x1 + δ)，使得f(ξ) = f(x1)。
这与f(x1) > f(x2)矛盾，因此f(x)在[a, b]上单调。
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