今日考研数学挑战题：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+1$，求证：当$x>1$时，$f(x)>0$。
证明：首先，对函数$f(x)$求导得$f'(x)=3x^2-6x+4$。
令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=\frac{2}{3}$。
由于$x>1$，故$x_2=\frac{2}{3}$不在考虑范围内。
当$x>1$时，$f'(x)>0$，说明函数$f(x)$在$(1,+\infty)$区间上单调递增。
又因为$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1+1=3>0$，所以当$x>1$时，$f(x)>f(1)=3>0$。
综上所述，当$x>1$时，$f(x)>0$。
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