在2021年考研数学二的真题中，第15题是一道综合性较强的题目，主要考查了多元函数微积分、线性代数以及概率论与数理统计的综合应用。以下是该题的详细解答过程：
题目：设函数 \( f(x, y) = \begin{cases} x^2 + y^2, & \text{当 } x \neq 0 \text{ 或 } y \neq 0 \\ 1, & \text{当 } x = 0 \text{ 且 } y = 0 \end{cases} \)，求函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (0, 0) \) 处的偏导数。
解答过程：
1. 首先确定函数 \( f(x, y) \) 在 \( (0, 0) \) 处的定义。由题意知，当 \( x = 0 \) 且 \( y = 0 \) 时，\( f(x, y) = 1 \)；当 \( x \neq 0 \) 或 \( y \neq 0 \) 时，\( f(x, y) = x^2 + y^2 \)。
2. 求偏导数 \( f_x'(0, 0) \)。根据偏导数的定义，我们有：
\[ f_x'(0, 0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(0 + \Delta x, 0) - f(0, 0)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1 - 1}{\Delta x} = 0 \]
因此，\( f_x'(0, 0) = 0 \)。
3. 求偏导数 \( f_y'(0, 0) \)。同理，我们有：
\[ f_y'(0, 0) = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{f(0, 0 + \Delta y) - f(0, 0)}{\Delta y} = \lim_{\Delta y \to 0} \frac{1 - 1}{\Delta y} = 0 \]
因此，\( f_y'(0, 0) = 0 \)。
综上所述，函数 \( f(x, y) \) 在点 \( (0, 0) \) 处的偏导数为 \( (0, 0) \)。
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