在深入探讨多元函数积分的考研真题时，考生需熟练掌握多元函数的极限、偏导数、二重积分等核心概念。以下是一例典型真题：
【真题展示】已知函数 \( f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2} \)，求 \( f(x,y) \) 在 \( (0,0) \) 处的偏导数。
【解题思路】
1. 计算偏导数 \( f_x'(x,y) \) 和 \( f_y'(x,y) \)。
2. 将 \( (0,0) \) 代入上述偏导数表达式，求出极限值。
【答案】
\( f_x'(x,y) = \frac{2xy^2}{(x^2+y^2)^2} \)
\( f_y'(x,y) = \frac{x^2y^2}{(x^2+y^2)^2} \)
当 \( x \to 0 \) 且 \( y \to 0 \) 时，\( f_x'(x,y) \) 和 \( f_y'(x,y) \) 的极限均为 0。
【总结】通过这类真题，考生应加强多元函数积分理论的学习，并注重实际运算能力的培养。
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