线性代数，作为数学三考研的核心内容，2019年的题目无疑考查了考生对线性代数基本概念、理论和方法的理解与应用。以下是一道2019年考研数三线性代数题的原创解答：
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
解答：
首先，计算矩阵 \( A \) 的特征多项式 \( \det(\lambda I - A) \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。具体计算如下：
\[
\begin{aligned}
\det(\lambda I - A) &= \det \begin{bmatrix} \lambda - 1 & -2 & -3 \\ -4 & \lambda - 5 & -6 \\ -7 & -8 & \lambda - 9 \end{bmatrix} \\
&= (\lambda - 1) \left[ (\lambda - 5)(\lambda - 9) - (-6)(-8) \right] - (-2) \left[ (-4)(\lambda - 9) - (-6)(-7) \right] + (-3) \left[ (-4)(-8) - (-7)(-5) \right] \\
&= (\lambda - 1)(\lambda^2 - 14\lambda + 45 - 48) + 8(\lambda - 9) - 21 \\
&= (\lambda - 1)(\lambda^2 - 14\lambda - 3) + 8\lambda - 72 - 21 \\
&= (\lambda - 1)(\lambda^2 - 14\lambda - 3) + 8\lambda - 93 \\
&= (\lambda - 1)(\lambda^2 - 14\lambda - 3) - 93(\lambda - 1) \\
&= (\lambda - 1)^2(\lambda^2 - 14\lambda - 3 - 93) \\
&= (\lambda - 1)^2(\lambda^2 - 14\lambda - 96).
\end{aligned}
\]
接下来，解特征多项式 \( (\lambda - 1)^2(\lambda^2 - 14\lambda - 96) = 0 \) 得到特征值：
\[
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 1, \quad \lambda_3 = 14 \pm 6\sqrt{5}.
\]
最后，对于每个特征值，求出对应的特征向量。例如，对于特征值 \( \lambda_1 = 1 \)，解方程组 \( (A - \lambda_1 I)x = 0 \)：
\[
\begin{bmatrix} 0 & -2 & -3 \\ -4 & 4 & -6 \\ -7 & -8 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}.
\]
通过行简化等操作，可以得到特征向量。
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