【考研数学测验试卷】
一、选择题（每题5分，共25分）
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)$的值是：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 不存在
2. 下列函数中，连续的是：
A. $y = |x|$
B. $y = x^2$
C. $y = \frac{1}{x}$
D. $y = \sqrt{x}$
3. 若$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$的值是：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 不存在
4. 已知向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (3, 4, 5)$，则$\vec{a} \cdot \vec{b}$的值是：
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
5. 设$f(x) = x^3 - 3x + 2$，则$f'(x)$的值是：
A. $3x^2 - 3$
B. $3x^2 + 3$
C. $3x^2 - 6$
D. $3x^2 + 6$
二、填空题（每题5分，共25分）
6. $\int_0^{\pi} \sin x \, dx = \quad$
7. $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \quad$
8. 设$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1} = \quad$
9. $\int x^2 e^x \, dx = \quad$
10. 设$f(x) = e^x \sin x$，则$f'(x) = \quad$
三、解答题（每题20分，共60分）
11. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 3x^2y$。
12. 计算定积分$\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) \, dx$。
13. 设矩阵$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$，求$A$的特征值和特征向量。
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