在2020年的数学一考研中，考生们面临着一场充满挑战的数学盛宴。以下是对部分真题的详解：
一、选择题
1. 一元二次方程 \(x^2 - 4x + 3 = 0\) 的两个根分别为 \(x_1\) 和 \(x_2\)，若 \(x_1 + x_2 = 4\)，则 \(x_1 \cdot x_2 = \)？
【答案】\(x_1 \cdot x_2 = 3\)
解析：由韦达定理，得 \(x_1 + x_2 = 4\)，\(x_1 \cdot x_2 = 3\)。
2. 已知函数 \(f(x) = \ln(x + 1)\)，求 \(f'(x) = \)？
【答案】\(f'(x) = \frac{1}{x + 1}\)
解析：根据对数函数的导数公式，得 \(f'(x) = \frac{1}{x + 1}\)。
二、填空题
1. 若 \(a + b = 2\)，\(a^2 + b^2 = 6\)，则 \(ab = \)？
【答案】\(ab = 2\)
解析：根据平方差公式，得 \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，代入已知条件，解得 \(ab = 2\)。
2. 设 \(a = \sqrt{2} + 1\)，\(b = \sqrt{2} - 1\)，则 \(\frac{a^2 - b^2}{ab} = \)？
【答案】\(\frac{a^2 - b^2}{ab} = 2\)
解析：根据平方差公式，得 \(\frac{a^2 - b^2}{ab} = \frac{(a + b)(a - b)}{ab} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2\)。
三、解答题
1. 求函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\) 的极值。
【答案】函数的极大值为 \(f(1) = 2\)，极小值为 \(f(2) = 0\)。
解析：对函数求导，得 \(f'(x) = 3x^2 - 6x\)，令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = 0\) 或 \(x = 2\)。再求二阶导数，得 \(f''(x) = 6x - 6\)，代入 \(x = 0\) 和 \(x = 2\)，得 \(f''(0) = -6\)，\(f''(2) = 6\)。因此，\(x = 0\) 为极大值点，\(x = 2\) 为极小值点。
2. 求曲线 \(y = x^3 - 3x^2 + 4\) 在点 \((1, 2)\) 处的切线方程。
【答案】切线方程为 \(y = -2x + 4\)。
解析：首先求出函数在点 \((1, 2)\) 处的导数，得 \(f'(1) = -2\)。根据点斜式，得切线方程为 \(y - 2 = -2(x - 1)\)，化简得 \(y = -2x + 4\)。
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