2023数学三考研真题解析如下：
一、选择题
1. 解析：本题考查函数极限的计算。首先对函数进行简化，然后利用洛必达法则求解。
答案：D
2. 解析：本题考查一元二次方程的解。首先将方程化为标准形式，然后利用求根公式求解。
答案：A
3. 解析：本题考查数列的极限。首先观察数列的通项公式，然后利用夹逼准则求解。
答案：B
4. 解析：本题考查函数的连续性。首先判断函数在给定点处的极限是否存在，然后判断函数在该点处的连续性。
答案：C
5. 解析：本题考查多元函数的极值。首先求出函数的一阶偏导数和二阶偏导数，然后利用二阶导数检验法判断极值。
答案：D
二、填空题
1. 解析：本题考查二项式定理的应用。根据二项式定理展开式，直接计算即可。
答案：$\frac{1}{2}$
2. 解析：本题考查行列式的计算。根据行列式的性质，直接计算即可。
答案：-12
3. 解析：本题考查级数的收敛性。根据级数的收敛判别法，直接判断即可。
答案：收敛
4. 解析：本题考查矩阵的秩。根据矩阵的秩的定义，直接判断即可。
答案：3
5. 解析：本题考查线性方程组的解。根据线性方程组的解的定义，直接求解即可。
答案：x=1, y=2, z=3
三、解答题
1. 解析：本题考查定积分的计算。首先将被积函数进行简化，然后利用积分公式求解。
答案：$\frac{\pi}{4}$
2. 解析：本题考查多元函数的偏导数。首先求出函数的一阶偏导数，然后求出二阶偏导数。
答案：$f_x'=\frac{2x}{x^2+y^2}, f_y'=\frac{-2y}{x^2+y^2}, f_{xx}''=\frac{2(x^2+y^2)-4x^2}{(x^2+y^2)^2}, f_{yy}''=\frac{2(x^2+y^2)-4y^2}{(x^2+y^2)^2}, f_{xy}''=\frac{-4xy}{(x^2+y^2)^2}$
3. 解析：本题考查线性方程组的求解。首先将方程组化为增广矩阵，然后利用高斯消元法求解。
答案：x=1, y=2, z=3
4. 解析：本题考查级数的收敛性。首先判断级数的收敛性，然后判断级数的和。
答案：收敛，和为$\frac{1}{2}$
5. 解析：本题考查多元函数的最值。首先求出函数的一阶偏导数，然后求出二阶偏导数，最后利用二阶导数检验法判断最值。
答案：最大值点为$(0,0)$，最大值为$1$；最小值点为$(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2})$，最小值为$-\frac{1}{2}$
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