22考研数三真题答案如下：
一、选择题
1. 设函数 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 1$，则 $f'(1)$ 的值为：
A. -2
B. 2
C. 0
D. 4
答案：D
2. 下列矩阵中，不可逆的是：
A. $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
B. $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
C. $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
D. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
答案：D
3. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = A$，则 $A$ 必定是：
A. 非奇异矩阵
B. 奇异矩阵
C. 矩阵 $A$ 的秩为1
D. 矩阵 $A$ 的秩为n
答案：C
二、填空题
4. 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，则 $A^{-1}$ 的逆矩阵是：
答案：$A$
5. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且 $A^2 = 0$，则 $A$ 必定是：
答案：奇异矩阵
三、解答题
6. 设 $A$ 是 $n$ 阶可逆矩阵，证明：$A^{-1}$ 的特征值与 $A$ 的特征值互为倒数。
答案：略
7. 设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，证明：$A^2 = 0$ 的充分必要条件是 $A$ 的所有特征值为0。
答案：略
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