2014年考研数学二第23题，是一道综合性较强的题目，涉及函数极限、导数及不定积分等知识点。题目如下：
已知函数 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( a, b, c \) 是常数。若 \( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1 \)，且 \( f(1) = 3 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的值。
解答如下：
由题意知，\( \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x^2} = 1 \)，即 \( \lim_{x \to \infty} (x + \frac{a}{x} + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}) = 1 \)。由于 \( \lim_{x \to \infty} \frac{a}{x} = 0 \)，\( \lim_{x \to \infty} \frac{b}{x} = 0 \)，\( \lim_{x \to \infty} \frac{c}{x^2} = 0 \)，因此 \( a = 0 \)。
又因为 \( f(1) = 3 \)，代入函数 \( f(x) \) 得 \( 1 + a + b + c = 3 \)。结合 \( a = 0 \)，得 \( b + c = 2 \)。
接下来，对函数 \( f(x) \) 求导，得 \( f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \)。因为 \( a = 0 \)，所以 \( f'(x) = 3x^2 + b \)。
要求 \( f'(x) \) 的零点，即解方程 \( 3x^2 + b = 0 \)。由于 \( b \) 是常数，所以 \( f'(x) \) 的零点也是常数。结合 \( f(1) = 3 \)，得 \( 3 + b = 0 \)，因此 \( b = -3 \)。
综上所述，\( a = 0 \)，\( b = -3 \)。
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